Determine os autovalores e autovetores do operador linear T : R^3 R^3, definida por T(x, y, z)=(x,-2 x-y, 2 x+y+z).

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear T:R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (x,,-2x-y,;2x+y+z)
Para resolver, vamos representar T pela matriz associada na base canônica, calcular o polinômio característico, achar seus zeros (autovalores) e, para cada autovalor, determinar o espaço próprio (autovetores).

Passo 2

Vamos encontrar a matriz A de T na base canônica e1,e2,e3.
T(e1)=T(1,0,0)=(1,-2,2), T(e2)=T(0,1,0)=(0,-1,1), T(e3)=T(0,0,1)=(0,0,1)
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A = 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 0 2 & 1 & 1

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det 1-lambda & 0 & 0 -2 & -1-lambda & 0 2 & 1 & 1-lambda =(1-lambda)det-1-lambda & 01 & 1-lambda
E
det-1-lambda & 01 & 1-lambda =(-1-lambda)(1-lambda)
Portanto
det(A-lambda I) = -(1-lambda)^2(1+lambda)

Passo 4

As raízes de
-(1-lambda)^2(1+lambda)=0
são
lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=-1 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 5

Para lambda=1 resolvemos (A-I)v=0:
A-I = 0 & 0 & 0 -2 & -2 & 0 2 & 1 & 0 ,
que gera as equações
-2x-2y=0, 2x+y=0, 0cdot z=0
Das duas primeiras vem x+y=0 e 2x+y=0. Subtraindo dá x=0 e então y=0. O parâmetro livre é z, logo
v=(0,0,z)=z,(0,0,1)

Passo 6

Para lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0:
A+I = 2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 2 & 1 & 2 ,
de onde
2x=0implies x=0,
2cdot0 + y + 2z =0implies y=-2z
Assim
v=(0,-2z,z)=z,(0,-2,1)

Resposta

Autovalores e autovetores de T:
lambda=1 (multiplicidade algébrica 2), com espaço próprio span(0,0,1);
lambda=-1 (multiplicidade algébrica 1), com espaço próprio span(0,-2,1).

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