Determine os autovalores e autovetores do operador linear : , definida por .
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear definido por
Para resolver, vamos representar pela matriz associada na base canônica, calcular o polinômio característico, achar seus zeros (autovalores) e, para cada autovalor, determinar o espaço próprio (autovetores).
são lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=-1 (multiplicidade algébrica 1).
Passo 5
Para lambda=1 resolvemos (A-I)v=0:
A-I = 0 & 0 & 0 -2 & -2 & 0 2 & 1 & 0 ,
que gera as equações
-2x-2y=0, 2x+y=0, 0cdot z=0
Das duas primeiras vem x+y=0 e 2x+y=0. Subtraindo dá x=0 e então y=0. O parâmetro livre é z, logo
v=(0,0,z)=z,(0,0,1)
Passo 6
Para lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0:
A+I = 2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 2 & 1 & 2 ,
de onde
2x=0implies x=0,
2cdot0 + y + 2z =0implies y=-2z
Assim
v=(0,-2z,z)=z,(0,-2,1)
Resposta
Autovalores e autovetores de T: lambda=1 (multiplicidade algébrica 2), com espaço próprio span(0,0,1); lambda=-1 (multiplicidade algébrica 1), com espaço próprio span(0,-2,1).