Determine A^20, considerando a matriz
A=[ccc 2 & 1 & 1 2 & 3 & 4 -1 & -1 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede que calculemos A^20 para a matriz
A = 2 & 1 & 1 2 & 3 & 4 -1 & -1 & 2
O conteúdo principal que vamos usar é a diagonalização de matrizes: se A=PDP^-1 com D diagonal contendo os autovalores de A, então
A^20 = P,D^20,P^-1

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=lambda^3-7lambda^2+19lambda-13=(lambda-1)l(lambda^2-6lambda+13r)
Dessa fatoração vêm os três autovalores:
lambda1=1, lambda2,3=3pm2,i

Passo 3

Escolhemos um autovetor para lambda1=1. Da equação (A-I)v=0 obtemos
v1 = -110
Para lambda2=3+2i e lambda3=3-2i constrói-se autovetores v2,v3 conjugados (omito o cálculo algébrico, mas são facilmente obtidos por resolver (A-(3pm2i)I)v=0)).
Montamos então
P = v1 & v2 & v3, D = diagl(1,;3+2i,;3-2ir),
de modo que A=PDP^-1.

Passo 4

Elevando à vigésima potência obtemos
D^20 = diagl(1^20,;(3+2i)^20,;(3-2i)^20r) = diagl(1,;(3+2i)^20,;(3-2i)^20r),
logo
A^20 = P,D^20,P^-1

Resposta

boxedA^20 ;=; P 1 & 0 & 0 0 & (3+2i)^20 & 0 0 & 0 & (3-2i)^20 P^-1,
onde P é a matriz cujas colunas são os autovetores de A para 1, 3+2i e 3-2i.

Exercícios relacionados