Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt aos vetores
u1=(0,1,1), u2=(1,0,1), u3=(1,1,0)
a fim de obter uma base ortonormal O de R^3. Em seguida, determine as coordenadas de um vetor qualquer u=(x1, x2, x3) in R^3 nessa base.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt aos vetores u1=(0,1,1), u2=(1,0,1), u3=(1,1,0) no R^3 para obter uma base ortonormal O=e1,e2,e3. Em seguida, queremos expressar um vetor genérico u=(x1,x2,x3) nessas coordenadas. Vamos usar o produto interno canônico e a definição de projeção ortogonal:
projv(w)=lang<= w,vrang<=lang<= v,vrang<=,v

Passo 2

Definimos v1 = u1. Então
v1 = (0,1,1), lang<= v1,v1rang<= = 0^2+1^2+1^2 = 2

Passo 3

Calculamos a parte de u2 ortogonal a v1:
projv1(u2) = lang<= u2,v1rang<=lang<= v1,v1rang<=,v1 = 1cdot0 + 0cdot1 +1cdot12,v1 = tfrac12,v1
Logo
v2 = u2 - projv1(u2) = (1,0,1) - tfrac12(0,1,1) = l(1,,-tfrac12,,tfrac12r),
e
lang<= v2,v2rang<= = 1 + tfrac14 + tfrac14 = tfrac32

Passo 4

Agora ortogonalizamos u3 em relação a v1,v2:
projv1(u3) = 12v1, projv2(u3) = lang<= u3,v2rang<=lang<= v2,v2rang<=,v2 = tfrac12tfrac32,v2 = tfrac13,v2
Então
v3 = u3 - tfrac12,v1 - tfrac13,v2 = (1,1,0) - l(0,tfrac12,tfrac12r) - l(tfrac13,-tfrac16,tfrac16r) = l(tfrac23,tfrac23,-tfrac23r),
com lang<= v3,v3rang<= = 3cdot(tfrac23)^2 = tfrac43

Passo 5

Normalizamos cada vi para obter ei = vi/|vi|:
e1 = 1raiz2(0,1,1), e2 = 1raiz3/2l(1,-tfrac12,tfrac12r) = l(tfracraiz63,,-tfracraiz66,,tfracraiz66r), e3 = 1raiz4/3l(tfrac23,tfrac23,-tfrac23r) = l(tfracraiz33,,tfracraiz33,,-tfracraiz33r)

Passo 6

Numa base ortonormal, as coordenadas de u=(x1,x2,x3) são
alphai = lang<= u, eirang<=
Calculando:
alpha1 = x2 + x3raiz2, alpha2 = raiz66l(2x1 - x2 + x3r), alpha3 = x1 + x2 - x3raiz3

Resposta

A base ortonormal O é
e1 = 1raiz2(0,1,1), e2 = l(tfracraiz63,,-tfracraiz66,,tfracraiz66r), e3 = l(tfracraiz33,,tfracraiz33,,-tfracraiz33r)
As coordenadas de u=(x1,x2,x3) nesta base são
l(tfracx2+x3raiz2,; tfracraiz66(2x1 - x2 + x3),; tfracx1 + x2 - x3raiz3r)

Exercícios relacionados