Seja P: V V a projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial W gerado por um vetor não-nulo u in V. Dados dois vetores não-nulos v, w quaisquer em V, calcule os ângulos entre P v e w e entre P w e v. Calcule, ainda, o ângulo entre P v e P w.

Passo 1

O enunciado fala de uma projeção ortogonal
P:Vto V
sobre o subespaço W=spanu, onde uneq0. Para dois vetores quaisquer vneq0 e wneq0, a gente vai calcular os ângulos
  1. entre Pv e w,
  2. entre Pw e v,
  3. entre Pv e Pw.
    O que precisamos é da expressão de P em termos de produto interno e norma, e usar a definição de cosseno de ângulo
costheta = lang<=vetor A,,vetor Brang<=|vetor A|;|vetor B|

Passo 2

Primeiro, lembramos que a projeção ortogonal de v sobre u vale
P(v) =lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u =lang<= v,urang<=|u|^2;u

Passo 3

Para achar cosl(ang<=(Pv,,w)r), usamos
cosl(ang<=(Pv,,w)r) =lang<= P(v),,wrang<= |P(v)|;|w|
Substituindo P(v)=(lang<= v,urang<=/|u|^2),u, vem
lang<= P(v),,wrang<= =lang<= v,urang<=|u|^2 ;lang<= u,wrang<=,
e
|P(v)| =l|lang<= v,urang<=|u|^2, ur| =l|lang<= v,urang<=r||u|^2 ;|u| =l|lang<= v,urang<=r||u|

Passo 4

Agora juntando tudo:
cosl(ang<=(Pv,,w)r) =lang<= v,urang<=|u|^2 ;lang<= u,wrang<= l(|lang<= v,urang<=||u|r);|w| =lang<= v,urang<=;lang<= u,wrang<= |u|,|lang<= v,urang<=|;|w|
Isto é,
cosl(ang<=(Pv,,w)r) =signl(lang<= v,urang<=r); lang<= u,wrang<=|u|;|w| =signl(lang<= v,urang<=r), cosl(ang<=(u,,w)r)

Passo 5

Isso diz que o ângulo entre Pv e w é ou igual a ang<=(u,w) (se lang<=v,urang<=>0) ou igual a pi-ang<=(u,w) (se lang<=v,urang<=<0).

Passo 6

Por simetria, trocando vrightarroww obtemos
cosl(ang<=(Pw,,v)r) =signl(lang<= w,urang<=r), cosl(ang<=(u,,v)r),
logo o ângulo entre Pw e v é ang<=(u,v) ou pi-ang<=(u,v), conforme o sinal de lang<=w,urang<=.

Passo 7

Por fim, para cosl(ang<=(Pv,,Pw)r) usamos
P(v)=alpha,u, P(w)=beta,u,
com alpha=lang<= v,urang<=/|u|^2 e beta=lang<= w,urang<=/|u|^2. Então
cosl(ang<=(Pv,,Pw)r) =lang<= alphau,,betaurang<= |alphau|;|betau| =alphabeta,|u|^2 |alpha|,|u|;|beta|,|u| =alphabeta|alphabeta| =sign(alphabeta)

Passo 8

Como alphabeta tem o mesmo sinal de lang<=v,urang<=,lang<=w,urang<=, concluímos que
  • se lang<=v,urang<= e lang<=w,urang<= têm o mesmo sinal, então ang<=(Pv,Pw)=0,
  • caso contrário, ang<=(Pv,Pw)=pi.

Resposta

  1. ang<=(Pv,,w) = ang<=(u,w),&se lang<=v,urang<=>0, pi-ang<=(u,w),&se lang<=v,urang<=<0
  2. ang<=(Pw,,v) = ang<=(u,v),&se lang<=w,urang<=>0, pi-ang<=(u,v),&se lang<=w,urang<=<0
  3. ang<=(Pv,,Pw) = 0,&se lang<=v,urang<=,lang<=w,urang<=>0, pi,&se lang<=v,urang<=,lang<=w,urang<=<0

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