Seja
a projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial
gerado por um vetor não-nulo
. Verifique que a matriz
representando
em uma base ortonormal
qualquer de
é simétrica, ou seja, que
onde
indica a transposição da matriz.
Passo 1
O enunciado considera a projeção ortogonal
sobre o subespaço gerado por um vetor não-nulo
.
Queremos mostrar que, na representação matricial em qualquer base ortonormal , a matriz
satisfaz
.
Queremos mostrar que, na representação matricial em qualquer base ortonormal
Passo 2
Lembrando a fórmula da projeção ortogonal, para todo
onde
é o produto interno em
.
Como a base é ortonormal, o adjunto de
tem matriz transposta de
, e projecção ortogonal é auto-adjunta, isto é,
.
Como a base
Passo 3
Para encontrar as entradas da matriz, escrevemos
.
Então, aplicando a um vetor da base
,
Então, aplicando
Logo, o coeficiente na direção
é
Passo 4
Observamos que
Portanto todos os elementos acima da diagonal coincidem com os de baixo da diagonal, o que implica
.
Resposta
A matriz
tem entradas
e satisfaz
,
isto é, é simétrica.
isto é, é simétrica.