Seja P: V V a projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial W gerado por um vetor não-nulo u in V. Verifique que a matriz [P]B^B representando P em uma base ortonormal B qualquer de V é simétrica, ou seja, que
([P]B^B)^top=[P]B^B
onde top indica a transposição da matriz.

Passo 1

O enunciado considera a projeção ortogonal
,P:Vto V sobre o subespaço gerado por um vetor não-nulo uin V.
Queremos mostrar que, na representação matricial em qualquer base ortonormal B=e1,dots,en, a matriz
[P]B^B satisfaz
l([P]B^Br)^top=[P]B^B.

Passo 2

Lembrando a fórmula da projeção ortogonal, para todo xin V
P(x);=;lang<= x,urang<=lang<= u,urang<=,u
onde lang<=cdot,cdotrang<= é o produto interno em V.
Como a base B é ortonormal, o adjunto de P tem matriz transposta de [P], e projecção ortogonal é auto-adjunta, isto é, P=P^*.

Passo 3

Para encontrar as entradas da matriz, escrevemos u=sumk=1^n uk ek.
Então, aplicando P a um vetor da base ej,
P(ej) =lang<= ej,urang<=lang<= u,urang<=,u =ujsumk=1^n uk^2sumi=1^n ui,ei
Logo, o coeficiente na direção ei é
aij =l([P]B^Br)ij =ui,ujsumk=1^n uk^2 =ui,uj|u|^2

Passo 4

Observamos que
aij=ui,uj|u|^2 =uj,ui|u|^2 =aji
Portanto todos os elementos acima da diagonal coincidem com os de baixo da diagonal, o que implica
l([P]B^Br)^top=[P]B^B.

Resposta

A matriz igl[Pr]B^B tem entradas
aij = ui uj|u|^2 e satisfaz
l(l[Pr]B^Br)^top = l[Pr]B^B,
isto é, é simétrica.

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