Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt aos vetores
u1=(0,1,1), u2=(1,0,1), u3=(1,1,0)
a fim de obter uma base ortonormal O de R^3. Determine a projeção ortogonal de um vetor u=(x1, x2, x3) sobre a reta gerada por u1 em R^3.

Passo 1

O enunciado pede para, usando o processo de Gram–Schmidt, gerar uma base ortonormal O de R^3 a partir dos vetores u1=(0,1,1), u2=(1,0,1), u3=(1,1,0), e depois determinar a projeção ortogonal de u=(x1,x2,x3) sobre a reta gerada por u1. Vamos usar projeções e normalizações.

Passo 2

Definimos v1=u1. O seu módulo é
|v1|=raiz0^2+1^2+1^2=raiz2,
então
e1=v1|v1| =l(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)

Passo 3

Calculemos v2=u2-proje1u2, onde proje1u2=(u2cdot e1),e1. Temos
u2cdot e1=1raiz2, proje1u2=l(0,tfrac12,tfrac12r),
v2=(1,0,1)-l(0,tfrac12,tfrac12r) =l(1,-tfrac12,tfrac12r), |v2|=raiztfrac32=raiz62,
e2=v2|v2| =l(tfracraiz63,-tfracraiz66,tfracraiz66r)

Passo 4

Calculemos v3=u3-proje1u3-proje2u3. Primeiro,
u3cdot e1=1raiz2, proje1u3=l(0,tfrac12,tfrac12r),
u3cdot e2=raiz66, proje2u3=l(tfrac13,-tfrac16,tfrac16r)
Logo
v3=(1,1,0)-l(0,tfrac12,tfrac12r)-l(tfrac13,-tfrac16,tfrac16r) =l(tfrac23,tfrac23,-tfrac23r), |v3|=2raiz3,
e3=v3|v3| =l(tfracraiz33,tfracraiz33,-tfracraiz33r)

Passo 5

Os vetores e1,e2,e3 formam a base ortonormal pedida:
O=l(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2),;(tfracraiz63,-tfracraiz66,tfracraiz66),;(tfracraiz33,tfracraiz33,-tfracraiz33)r

Passo 6

A projeção ortogonal de u=(x1,x2,x3) sobre a reta gerada por u1 é dada por
projlang<=u1rang<=u =ucdotu1u1cdotu1,u1 =x2+x32,(0,1,1)

Resposta

O=l(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2),;(tfracraiz63,-tfracraiz66,tfracraiz66),;(tfracraiz33,tfracraiz33,-tfracraiz33)r
projlang<=u1rang<=u=x2+x32,(0,1,1)

Exercícios relacionados