Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt aos vetores
u1=(0,1,1), u2=(1,0,1), u3=(1,1,0)
a fim de obter uma base ortonormal O de R^3. Determine a projeção ortogonal de um vetor u=(x1, x2, x3) sobre o plano gerado por por u1 e u2 em R^3.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt aos vetores
u1=(0,1,1), u2=(1,0,1), u3=(1,1,0)
de modo a obter uma base ortonormal O=e1,e2,e3 de R^3. Depois, queremos a projeção ortogonal de um vetor genérico u=(x1,x2,x3) sobre o plano W=spanu1,u2. Usaremos o lema de Gram–Schmidt para construir ei e a fórmula
projW(u) =sumi=1^2lang<= u,eirang<= ,ei

Passo 2

Definimos
v1=u1=(0,1,1), |v1|=raiz0^2+1^2+1^2=raiz2,
logo
e1=v1|v1| =l(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)

Passo 3

Subtraímos de u2 sua projeção em e1:
lang<= u2,e1rang<= =(1,0,1)cdotl(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) =1raiz2,
v2=u2-lang<= u2,e1rang<= e1 =(1,0,1)-l(0,tfrac12,tfrac12r) =(1,-tfrac12,tfrac12),
|v2|=raiz1^2+(-tfrac12)^2+(tfrac12)^2 =raiztfrac32 =raiztfrac32,
e2=v2|v2| =raiztfrac23l(1,-tfrac12,tfrac12r) =l(raiztfrac23,-tfrac12raiztfrac23,tfrac12raiztfrac23r)

Passo 4

Para u3 subtraímos as projeções em e1 e e2:
lang<= u3,e1rang<= =(1,1,0)cdot e1 =1raiz2, lang<= u3,e2rang<= =(1,1,0)cdot e2 =tfrac12raiztfrac23
Então
v3 =u3 -tfrac1raiz2e1 -l(tfrac12raiztfrac23r)e2 =23(1,1,-1),
|v3| =23raiz1^2+1^2+(-1)^2 =2raiz33, e3 =v3|v3| =1raiz3(1,1,-1)
Portanto a base ortonormal é
O=l ,e1=(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2),; e2=(raiztfrac23,-tfrac12raiztfrac23,tfrac12raiztfrac23),; e3=(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3) r

Passo 5

A projeção ortogonal de u=(x1,x2,x3) no plano W é
projW(u) =lang<= u,e1rang<= e1 +lang<= u,e2rang<= e2
Calculando os produtos:
lang<= u,e1rang<= =x2+x3raiz2, lang<= u,e2rang<= =raiztfrac23l(x1-tfracx22+tfracx32r)

Passo 6

Após simplificar, obtém-se em coordenadas canônicas:
projW(u) =l(tfrac2x1 - x2 + x33,; tfrac-x1+2x2+x33,; tfracx1+x2+2x33r)

Resposta

A base ortonormal é
O=l (0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2),; (raiztfrac23,-tfrac12raiztfrac23,tfrac12raiztfrac23),; (tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3) r
e a projeção de u=(x1,x2,x3) no plano gerado por u1,u2 é
projW(u) =l(tfrac2x1 - x2 + x33,; tfrac-x1+2x2+x33,; tfracx1+x2+2x33r)

Exercícios relacionados