Se A^* w=u tem uma solução e A v=0, podemos afirmar que v é perpendicular a u?

Passo 1

O enunciado diz que existe w tal que
A^*w = u
ou seja, uinIm(A^*), e que
Av = 0
ou seja, vinker(A). O conteúdo aqui é a relação entre imagem do adjunto e núcleo da transformação.

Passo 2

Em espaços de dimensão finita (ou em espaços de Hilbert), vale o teorema
Im(A^*) = l(ker(A)r)^perp,
isto é, o espaço gerado por colunas de A^* é o complementar ortogonal do núcleo de A.

Passo 3

Como uinIm(A^*) e vinker(A), segue que
lang<= v,urang<= = 0,
ou seja, v é perpendicular a u.

Resposta

Sim, v é perpendicular a u.

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