Encontre a transformação adjunta da transformação linear A: R^2 R^3 dada por
A(x1, x2)=(x1+x2, x1+x2, x1-x2)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Acolon R^2toR^3, A(x1,x2)=(x1+x2,,x1+x2,,x1-x2)
e pede a transformação adjunta A^* relativa ao produto interno padrão em R^2 e R^3. Para isso, vamos usar a definição de adjunta e a representação matricial.

Passo 2

Em bases canônicas, A corresponde à matriz 3times2 cujas colunas são as imagens de (1,0) e (0,1). Calculando:
A(1,0)=(1,1,1), A(0,1)=(1,1,-1)
Logo,
[A] = 1 & 1 1 & 1 1 & -1

Passo 3

Pelo fato de estarmos usando o produto interno padrão em R^n, a matriz da adjunta A^* é simplesmente a transposta de [A]. Assim,
[A^*] = [A]^T = 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1

Passo 4

Da matriz [A^*] obtemos a fórmula de A^* agindo em (y1,y2,y3)inR^3. Multiplicando:
A^*(y1,y2,y3) = l(y1+y2+y3,;y1+y2-y3r)

Resposta

A^*colon R^3toR^2, A^*(y1,y2,y3) =(,y1+y2+y3,;y1+y2-y3,)

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