Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt aos vetores
u1=(0,1,1), u2=(1,0,1), u3=(1,1,0)
a fim de obter uma base ortonormal O de R^3. Em seguida, determine as coordenadas de um vetor qualquer u=(x1, x2, x3) in R^3 nessa base.
Determine a projeção ortogonal de um vetor u=(x1, x2, x3) sobre a reta gerada por u1 em R^3.

Passo 1

O enunciado pede para usar o processo de Gram–Schmidt nos vetores
u1=(0,1,1), u2=(1,0,1) e u3=(1,1,0)
para obter uma base ortonormal O=v1,v2,v3 de R^3. Em seguida, devemos achar as coordenadas de um vetor genérico u=(x1,x2,x3) nessa base e depois calcular a projeção ortogonal de u sobre a reta gerada por u1.

Passo 2

Normalizamos u1 para obter
v1=u1|u1| =(0,1,1)raiz0^2+1^2+1^2 =(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2)

Passo 3

Subtraímos de u2 sua projeção em v1 e normalizamos:
projv1(u2) =(u2cdot v1),v1 =tfrac1raiz2,(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2) =(0,tfrac12,tfrac12),
w2=u2-projv1(u2) =(1,0,1)-(0,tfrac12,tfrac12) =(1,-tfrac12,tfrac12), |w2|=raiz1+tfrac14+tfrac14=raiztfrac32,
v2=w2|w2| =l(tfrac1raiz3/2,-tfrac12raiz3/2,tfrac12raiz3/2r) =l(tfracraiz63,-tfracraiz66,tfracraiz66r)

Passo 4

Subtraímos de u3 as projeções em v1 e v2 e normalizamos:
projv1(u3) =tfrac1raiz2,(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2) =(0,tfrac12,tfrac12), projv2(u3) =(u3cdot v2),v2 =tfracraiz66,v2 =(tfrac13,-tfrac16,tfrac16),
w3=u3 -projv1(u3) -projv2(u3) =(1,1,0)-(0,tfrac12,tfrac12)-(tfrac13,-tfrac16,tfrac16) =(tfrac23,tfrac23,-tfrac23),
|w3|=raiztfrac49+tfrac49+tfrac49=tfrac2raiz3, v3=w3|w3| =l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3r)

Passo 5

As coordenadas de u=(x1,x2,x3) na base ortonormal
O=v1,v2,v3 são dadas por
alphai=ucdot vi, i=1,2,3
Logo
alpha1 =ucdot v1 =x2+x3raiz2, alpha2 =ucdot v2 =raiz66(2x1-x2+x3), alpha3 =ucdot v3 =x1+x2-x3raiz3

Passo 6

A projeção ortogonal de u sobre a reta gerada por u1 é
projlang<= u1rang<=(u) =ucdotu1|u1|^2,u1 =x2+x32,(0,1,1) =l(0,tfracx2+x32,tfracx2+x32r)

Resposta

A base ortonormal é
v1=(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2), v2=(tfracraiz63,-tfracraiz66,tfracraiz66), v3=(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3)
As coordenadas de u=(x1,x2,x3) nessa base são
l(tfracx2+x3raiz2,; tfracraiz66(2x1-x2+x3),; tfracx1+x2-x3raiz3r)
A projeção de u sobre a reta lang<=u1rang<= é
l(0,tfracx2+x32,tfracx2+x32r)

Exercícios relacionados