Encontre a transformação adjunta da transformação linear A: R^2 R^3 dada por
A(x1, x2)=(x1+x2, x1+x2, x1-x2)
Encontre uma base ortonormal u1, u2 para a imagem de A. Mostre que
P(w)=lang<=w, u1rang<=lang<=u1, u1rang<= u1+lang<=w, u2rang<=lang<=u2, u2rang<= u2

Passo 1

O enunciado apresenta a transformação linear
e pede (i) o adjunto , (ii) uma base ortonormal da imagem de e (iii) mostrar que a projeção ortogonal em fica
Conteúdos necessários: produto interno padrão, adjunto de transformação (transposta da matriz), Gram–Schmidt e fórmula da projeção em base ortonormal.

Passo 2

Escrevemos A como matriz 3times2 no padrão canônico:
A= 1 & 1 1 & 1 1 & -1
Em espaços com produto interno padrão, o adjunto é a transposta, logo
A^*=A^T = 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1
Assim, para y=(y1,y2,y3)in R^3 vale
A^*( y) =(,y1+y2+y3,;y1+y2-y3,)

Passo 3

As colunas de são
e geram . Aplicando Gram–Schmidt:
Portanto é uma base ortonormal de .

Passo 4

Seja a projeção ortogonal em . Pela fórmula em base ortonormal, para
e como isso coincide com
que é exatamente a expressão pedida.

Resposta

.
Uma base ortonormal da imagem é
E a projeção ortogonal em é

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