Encontre a transformação adjunta da transformação linear
dada por
Encontre uma base ortonormal
para a imagem de
. Mostre que
Passo 1
O enunciado apresenta a transformação linear
e pede (i) o adjunto
, (ii) uma base ortonormal da imagem de
e (iii) mostrar que a projeção ortogonal em fica
Conteúdos necessários: produto interno padrão, adjunto de transformação (transposta da matriz), Gram–Schmidt e fórmula da projeção em base ortonormal.
Passo 2
Escrevemos
como matriz
no padrão canônico:
Em espaços com produto interno padrão, o adjunto é a transposta, logo
Assim, para
y=(y1,y2,y3)in R^3 vale
Passo 3
As colunas de
são
e geram . Aplicando Gram–Schmidt:
Portanto
é uma base ortonormal de .
Passo 4
Seja
a projeção ortogonal em . Pela fórmula em base ortonormal, para
e como
isso coincide com
que é exatamente a expressão pedida.
Resposta
Uma base ortonormal da imagem é
E a projeção ortogonal em é