Seja
a projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial
gerado por um vetor não-nulo
. Mostre que
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma projeção ortogonal
sobre o subespaço vetorial
gerado por um vetor não-nulo
. Precisamos mostrar duas coisas:
- A imagem de
, denotada por , é igual a . - O espaço vetorial
é a soma direta do núcleo de , , e a imagem de , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de projeção ortogonal, imagem, núcleo e soma direta de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
.
A imagem de uma transformação linear
,
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como
para algum vetor
.
Como
é a projeção ortogonal sobre
, para qualquer vetor
,
é a “sombra” de
em
. Portanto, todos os vetores na imagem de
pertencem a
.
Além disso, para qualquer vetor
, já que
é uma projeção sobre
, temos
. Isso significa que todo vetor de
está na imagem de
.
Logo,
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
.
Primeiro, lembramos que a soma direta de dois subespaços
e
, denotada por
, ocorre quando todo vetor em
pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor de
e um vetor de
, isto é,
e
.
Sabemos que
. Isto porque qualquer vetor
pode ser escrito como:
Aqui,
e
, pois:
Isso mostra que
.
Agora, precisamos verificar que a interseção de
e
é apenas o vetor nulo:
Seja
. Então,
implica
e
implica que existe algum
tal que
.
Assim,
e
. Portanto,
.
Então,
, o que confirma que a soma é direta.