Seja P: V V a projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial W gerado por um vetor não-nulo u in V. Mostre que Im P=W e V=ker P boxplus Im P.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma projeção ortogonal P: V V sobre o subespaço vetorial W gerado por um vetor não-nulo u in V . Precisamos mostrar duas coisas:
  1. A imagem de P , denotada por Im P , é igual a W .
  2. O espaço vetorial V é a soma direta do núcleo de P , ker P , e a imagem de P , ou seja, V = ker P boxplus Im P .
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de projeção ortogonal, imagem, núcleo e soma direta de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que Im P = W .
A imagem de uma transformação linear P , Im P , é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como P(v) para algum vetor v in V .
Como P é a projeção ortogonal sobre W , para qualquer vetor v in V , P(v) é a “sombra” de v em W . Portanto, todos os vetores na imagem de P pertencem a W .
Além disso, para qualquer vetor w in W , já que P é uma projeção sobre W , temos P(w) = w . Isso significa que todo vetor de W está na imagem de P .
Logo, Im P = W .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que V = ker P boxplus Im P .
Primeiro, lembramos que a soma direta de dois subespaços A e B , denotada por A boxplus B , ocorre quando todo vetor em V pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor de A e um vetor de B , isto é, V = A + B e A cap B = 0 .
Sabemos que V = ker P + Im P . Isto porque qualquer vetor v in V pode ser escrito como:
v = P(v) + (v - P(v))
Aqui, P(v) in Im P = W e v - P(v) in ker P , pois:
P(v - P(v)) = P(v) - P(P(v)) = P(v) - P(v) = 0
Isso mostra que V = ker P + Im P .
Agora, precisamos verificar que a interseção de ker P e Im P é apenas o vetor nulo:
Seja x in ker P cap Im P . Então, x in ker P implica P(x) = 0 e x in Im P implica que existe algum w in W tal que x = P(w) = w .
Assim, x = w e P(x) = P(w) = w = x = 0 . Portanto, x = 0 .
Então, ker P cap Im P = 0 , o que confirma que a soma é direta.

Resposta

Im P = W e V = ker P boxplus Im P .

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