Seja
a projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial
gerado por um vetor não-nulo
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma projeção ortogonal
que mapeia um espaço vetorial
sobre um subespaço
gerado por um vetor não nulo
. Nosso objetivo é mostrar que
, ou seja, se a gente aplicar a projeção duas vezes, é a mesma coisa que aplicar uma vez só. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma projeção ortogonal e como ela funciona matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma projeção ortogonal. Imagine que você tem um vetor qualquer
em
. A projeção ortogonal de
sobre
é o vetor em
que está “mais próximo” de
, ou seja, a distância entre
e essa projeção é mínima. Matematicamente, a projeção
pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui,
representa o produto escalar entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que primeiro aplicamos
em
, e depois aplicamos
novamente no resultado. Usando a fórmula da projeção, temos:
Passo 4
Vamos calcular essa projeção interna. Sabemos que
está em
, então quando aplicamos
em qualquer múltiplo de
, o resultado é o próprio múltiplo, porque já está no subespaço
. Portanto:
Passo 5
Então, juntando tudo, vimos que:
Isso significa que aplicar a projeção duas vezes não muda nada, ou seja,
.
Resposta
Mostramos que
, ou seja, a projeção ortogonal
composta consigo mesma é igual a
.