Seja P: V V a projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial W gerado por um vetor não-nulo u in V. Mostre que P circ P=P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma projeção ortogonal P que mapeia um espaço vetorial V sobre um subespaço W gerado por um vetor não nulo u . Nosso objetivo é mostrar que P circ P = P , ou seja, se a gente aplicar a projeção duas vezes, é a mesma coisa que aplicar uma vez só. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma projeção ortogonal e como ela funciona matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma projeção ortogonal. Imagine que você tem um vetor qualquer v em V . A projeção ortogonal de v sobre W é o vetor em W que está “mais próximo” de v , ou seja, a distância entre v e essa projeção é mínima. Matematicamente, a projeção P(v) pode ser calculada usando a fórmula:
P(v) = u cdot vu cdot u u
Aqui, u cdot v representa o produto escalar entre u e v .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa P circ P (v) . Isso quer dizer que primeiro aplicamos P em v , e depois aplicamos P novamente no resultado. Usando a fórmula da projeção, temos:
P(P(v)) = P( u cdot vu cdot u u )

Passo 4

Vamos calcular essa projeção interna. Sabemos que u está em W , então quando aplicamos P em qualquer múltiplo de u , o resultado é o próprio múltiplo, porque já está no subespaço W . Portanto:
P( u cdot vu cdot u u ) = u cdot vu cdot u u = P(v)

Passo 5

Então, juntando tudo, vimos que:
P(P(v)) = P(v)
Isso significa que aplicar a projeção duas vezes não muda nada, ou seja, P circ P = P .

Resposta

Mostramos que P circ P = P , ou seja, a projeção ortogonal P composta consigo mesma é igual a P .

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