Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt aos vetores
u1=(0,1,1), u2=(1,0,1), u3=(1,1,0)
a fim de obter uma base ortonormal O de R^3. Em seguida, determine as coordenadas de um vetor qualquer u=(x1, x2, x3) in R^3 nessa base.
Determine a projeção ortogonal de um vetor u=(x1, x2, x3) sobre o plano gerado por por u1 e u2 em R^3.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Aplicar o processo de Gram–Schmidt aos vetores
    u1=(0,1,1), u2=(1,0,1), u3=(1,1,0)
    para obter uma base ortonormal O=e1,e2,e3 de R^3.
  2. Determinar as coordenadas de um vetor genérico u=(x1,x2,x3) nessa base.
  3. Calcular a projeção ortogonal de u sobre o plano gerado por u1 e u2.
Para isso vamos usar a ideia de construir vetores ortogonais v1,v2,v3 e depois normalizá-los para obter e1,e2,e3. Em seguida, tiramos projeções usando o fato de que a coordenada ao longo de ei é dada por ucdotei.

Passo 2

Definimos
v1=u1=(0,1,1).
O comprimento de v1 é
|v1|=raiz0^2+1^2+1^2=raiz2
Logo a primeira direção ortonormal é
e1=v1|v1| =1raiz2,(0,1,1)

Passo 3

Subtrairmos de u2 sua componente ao longo de e1:
v2 =u2-(u2cdote1),e1
Calculando
u2cdote1 =(1,0,1)cdot1raiz2(0,1,1) =1raiz2.
Então
v2 =(1,0,1)-1raiz2;1raiz2(0,1,1) =(1,0,1)-tfrac12(0,1,1) =(1,-tfrac12,tfrac12)
O comprimento de v2 é
|v2| =raiz1^2+(-tfrac12)^2+(tfrac12)^2 =raiztfrac32 =raiz62
Portanto
e2 =v2|v2| =1raiz6,(2,-1,1)

Passo 4

Agora
v3 =u3 -(u3cdote1),e1 -(u3cdote2),e2
Calculamos
u3cdote1 =(1,1,0)cdot1raiz2(0,1,1) =1raiz2,
u3cdote2 =(1,1,0)cdot1raiz6(2,-1,1) =1raiz6
Logo
v3 =(1,1,0) -tfrac1raiz21raiz2(0,1,1) -tfrac1raiz61raiz6(2,-1,1) =(1,1,0)-tfrac12(0,1,1)-tfrac16(2,-1,1) =(tfrac23,tfrac23,-tfrac23)
O comprimento é
|v3|=2raiz3/3,
de onde
e3 =v3|v3| =1raiz3,(1,1,-1)

Passo 5

Para um vetor genérico u=(x1,x2,x3), suas coordenadas (alpha1,alpha2,alpha3) na base ortonormal e1,e2,e3 são
alpha1=ucdote1 =x2+x3raiz2, alpha2=ucdote2 =2x1-x2+x3raiz6, alpha3=ucdote3 =x1+x2-x3raiz3
Logo
u =alpha1,e1 +alpha2,e2 +alpha3,e3

Passo 6

A projeção ortogonal de u sobre o plano gerado por u1,u2 é a mesma projeção no subespaço gerado por e1,e2, ou seja
projspanu1,u2(u) =alpha1,e1 +alpha2,e2
Em coordenadas canônicas isso dá
projlang<=u1,u2rang<=(u) =l(tfrac2x1-x2+x33,, tfrac-x1+2x2+x33,, tfracx1+x2+2x33r)

Resposta

Base ortonormal
e1=1raiz2(0,1,1), e2=1raiz6(2,-1,1), e3=1raiz3(1,1,-1)
Coordenadas de u=(x1,x2,x3):
alpha1=x2+x3raiz2, alpha2=2x1-x2+x3raiz6, alpha3=x1+x2-x3raiz3
Projeção ortogonal de u no plano spanu1,u2:
l(tfrac2x1-x2+x33,, tfrac-x1+2x2+x33,, tfracx1+x2+2x33r)

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