Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt aos vetores
a fim de obter uma base ortonormal
de
. Em seguida, determine as coordenadas de um vetor qualquer
nessa base.
Determine a projeção ortogonal de um vetor
sobre o plano gerado por por
e
em
.
Determine a projeção ortogonal de um vetor
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Aplicar o processo de Gram–Schmidt aos vetores
, ,
para obter uma base ortonormalde . - Determinar as coordenadas de um vetor genérico
nessa base. - Calcular a projeção ortogonal de
sobre o plano gerado por e .
Para isso vamos usar a ideia de construir vetores ortogonais
e depois normalizá-los para obter
. Em seguida, tiramos projeções usando o fato de que a coordenada ao longo de
é dada por
.
Passo 2
Definimos
.
O comprimento de é
O comprimento de
Logo a primeira direção ortonormal é
Passo 3
Subtrairmos de
sua componente ao longo de
:
Calculando
.
Então
Então
O comprimento de
é
Portanto
Passo 4
Agora
Calculamos
Logo
Logo
O comprimento é
,
de onde
de onde
Passo 5
Para um vetor genérico
, suas coordenadas
na base ortonormal
são
Logo
Passo 6
A projeção ortogonal de
sobre o plano gerado por
é a mesma projeção no subespaço gerado por
, ou seja
Em coordenadas canônicas isso dá
Resposta
Base ortonormal
Coordenadas de
:
Projeção ortogonal de
no plano
: