Aplique redução de ordem (mudança de variáveis v=y^prime ), para resolver a EDO y^prime prime+3 y^prime=x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' + 3y' = x
usando redução de ordem pela mudança de variáveis v = y'. Vamos transformar essa equação de segunda ordem numa equação de primeira ordem em v(x), resolver e depois voltar a y(x).

Passo 2

Fazendo v = y' temos y'' = tfracdvdx. Substituindo na EDO obtém-se a equação linear de primeira ordem em v:
dvdx + 3v = x

Passo 3

Para resolver
dvdx + 3v = x
calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral 3,dx=e^3x.
Multiplicando ambos os lados por e^3x vem
e^3xdvdx + 3e^3xv = x,e^3x,
ou seja
ddxl(e^3xvr) = x,e^3x
Integrando em x:
e^3xv = integral x,e^3x,dx + C
Usando integração por partes em integral x,e^3xdx:
integral x,e^3xdx = x,e^3x3 - integral e^3x3,dx = x,e^3x3 - e^3x9,
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e^3xv = l(x3-19r)e^3x + C Longrightarrow v = x3 - 19 + C e^-3x

Passo 4

Voltando a y, temos
y' = v = x3 - 19 + C e^-3x
Integramos termo a termo:
y = integral x3,dx - integral 19,dx + Cintegral e^-3x,dx + D = x^26 - x9 - C3e^-3x + D
Renomeando -tfracC3to C1 e Dto C2, obtemos a forma mais usual.

Resposta

boxedy(x) = x^26 - x9 + C1,e^-3x + C2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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