Resolva as seguintes equações diferenciais não-homogêneas pelo método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
pelo método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar (i) achar a solução geral da homogênea associada
e (ii) encontrar uma solução particular
para a parte não-homogênea.
Passo 2
Estudamos a homogênea
A equação característica é
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a parte não-homogênea
, propomos um
do tipo polinômio em
vezes
. Como
já é solução da homogênea (multiplicidade 1), multiplicamos por
. O grau mínimo de polinômio que cabe é 1, mas como há o fator extra
, tomamos grau 2:
Passo 4
Calculamos
e
usando a regra do produto. Se
, então
Como
e
, obtemos
Passo 5
Substituímos em
:
Isso deve ser igual a
. Logo:
Passo 6
Igualando coeficientes de
e termo constante, temos
Assim
Passo 7
A solução geral da não-homogênea é a soma de
com
: