Resolva as seguintes equações diferenciais não-homogêneas pelo método dos coeficientes a determinar:
y^prime prime-y=x e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
y'' - y = x e^x
pelo método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar (i) achar a solução geral da homogênea associada y'' - y = 0 e (ii) encontrar uma solução particular yp para a parte não-homogênea.

Passo 2

Estudamos a homogênea
y'' - y = 0
A equação característica é
r^2 - 1 = 0Longrightarrow r = pm 1
Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^x + C2 e^-x

Passo 3

Para a parte não-homogênea x e^x, propomos um yp do tipo polinômio em x vezes e^x. Como e^x já é solução da homogênea (multiplicidade 1), multiplicamos por x. O grau mínimo de polinômio que cabe é 1, mas como há o fator extra x, tomamos grau 2:
yp = (A x^2 + B x),e^x

Passo 4

Calculamos yp' e yp'' usando a regra do produto. Se U(x)=A x^2 + B x, então
yp = U e^x, yp' = (U' + U),e^x, yp'' = (U'' + 2U' + U),e^x
Como U'=2Ax+B e U''=2A, obtemos
yp' = l(Ax^2 + (2A+B)x + Br)e^x,
yp'' = l(Ax^2 + (4A+B)x + (2A+2B)r)e^x

Passo 5

Substituímos em y''-y:
yp''-yp =l[Ax^2+(4A+B)x+(2A+2B)r]e^x -l[Ax^2+Bxr]e^x =l[4A,x+(2A+2B)r]e^x
Isso deve ser igual a x e^x. Logo:
4A,x+(2A+2B)=1cdot x+0

Passo 6

Igualando coeficientes de x e termo constante, temos
4A = 1Longrightarrow A=tfrac14,
2A+2B=0Longrightarrow 2cdottfrac14+2B=0Longrightarrow B=-tfrac14
Assim
yp = l(tfrac14 x^2 - tfrac14 xr)e^x =x^2 - x4,e^x

Passo 7

A solução geral da não-homogênea é a soma de yh com yp:
y = C1 e^x + C2 e^-x + x^2 - x4,e^x

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^-x + x^2 - x4,e^x

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