Resolva o PVI
.
Passo 1
O enunciado dá o PVI
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem que podemos tratar como uma equação exata do tipo
com
Para resolver, vamos verificar a exatidão, encontrar uma função potencial
tal que
e então impor a condição inicial.
Passo 2
Verificamos se é exata comparando
Calculando:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função
tal que
Integramos em
:
onde
é função só de
. Agora impomos
Daí
, logo
. Podemos incorporar essa constante na constante geral da solução.
Passo 4
A solução implícita geral é
Usamos
: ao
,
dá
Então a condição inicial leva a
Passo 5
Da fatoração
surgem duas “ramificações”:
-
, que não define uma função em torno de (é a reta vertical). -
, isto é
Como queremos uma função
, ficamos com
definida para
. Ambas as escolhas de sinal satisfazem
.
Resposta
A solução implícita do PVI é
e, de modo explícito,
que satisfaz
.