Resolva o PVI 2x+y^2+2xy dydx=0, y(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
2x + y^2 + 2xy,dydx = 0, y(0)=0
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem que podemos tratar como uma equação exata do tipo
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=2x+y^2, N(x,y)=2xy
Para resolver, vamos verificar a exatidão, encontrar uma função potencial Psi(x,y) tal que
partialPsipartial x=M, partialPsipartial y=N,
e então impor a condição inicial.

Passo 2

Verificamos se é exata comparando
partial Mpartial y e partial Npartial x
Calculando:
partial Mpartial y =partialpartial y(2x+y^2) =2y,
partial Npartial x =partialpartial x(2xy) =2y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função Psi(x,y) tal que
partialPsipartial x=2x+y^2
Integramos em x:
Psi(x,y) =integral(2x+y^2),dx =x^2 + x,y^2 + h(y),
onde h(y) é função só de y. Agora impomos
partialPsipartial y =2xy + h'(y) stackrel!=2xy
Daí h'(y)=0, logo h(y)=const. Podemos incorporar essa constante na constante geral da solução.

Passo 4

A solução implícita geral é
Psi(x,y)=x^2 + x,y^2 = C
Usamos y(0)=0: ao x=0, y=0
0^2 + 0cdot0^2 = C ;Longrightarrow; C=0
Então a condição inicial leva a
x^2 + x,y^2 = 0 ;Longrightarrow; x,(x + y^2)=0

Passo 5

Da fatoração x(x+y^2)=0 surgem duas “ramificações”:
  1. x=0, que não define uma função y(x) em torno de x=0 (é a reta vertical).
  2. x + y^2 = 0, isto é
y^2 = -x
Como queremos uma função y(x), ficamos com
y(x)=pmraiz-x,
definida para x<=0. Ambas as escolhas de sinal satisfazem y(0)=0.

Resposta

A solução implícita do PVI é
x^2 + x,y^2 = 0,
e, de modo explícito,
y(x)=pmraiz-x, x<=0,
que satisfaz y(0)=0.

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