Resolva o PVI dydx=x^21+y^2, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dydx = x^21+y^2, y(0)=1
O conteúdo principal é EDO de primeira ordem com variáveis separáveis.

Passo 2

Separemos as variáveis multiplicando ambos os lados por (1+y^2),dx:
(1+y^2),dy = x^2,dx

Passo 3

Integramos cada lado:
integral (1+y^2),dy = integral x^2,dx Longrightarrow y + y^33 = x^33 + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=1:
1 + 1^33 = 0 + C Longrightarrow C = 43

Passo 5

Substituindo C e simplificando:
y + y^33 = x^33 + 43 Longrightarrow y^3 + 3y = x^3 + 4

Resposta

A solução implícita do PVI é
y + y^33 = x^33 + 43
equivalentemente
y^3 + 3y = x^3 + 4

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