Aplique a regra da cadeia para calcular a derivada das funções abaixo.
f(x)=\left(\frac{x-7}{x+2}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\left(\frac{x-7}{x+2}\right)^{3}
Usaremos a regra da cadeia para potência e a regra do quociente para a função interna.

Passo 2

Definimos a função externa
h(u)=u^{3}
e a função interna
u(x)=\frac{x-7}{x+2}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos h'(u). Como h(u)=u^3,
h'(u)=3\,u^2.
Logo,
h'\bigl(u(x)\bigr)=3\left(\frac{x-7}{x+2}\right)^{2}.

Passo 4

Agora derivamos u(x) pela regra do quociente:
u'(x) =\frac{(x+2)\cdot\frac{d}{dx}(x-7)-(x-7)\cdot\frac{d}{dx}(x+2)}{(x+2)^{2}} =\frac{(x+2)\cdot1-(x-7)\cdot1}{(x+2)^{2}} =\frac{x+2-x+7}{(x+2)^{2}} =\frac{9}{(x+2)^{2}}.

Passo 5

Substituindo em f'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x):
f'(x) =3\left(\frac{x-7}{x+2}\right)^{2}\cdot\frac{9}{(x+2)^{2}} =27\,\frac{(x-7)^{2}}{(x+2)^{4}}.

Resposta

f'(x)=27\,\frac{(x-7)^{2}}{(x+2)^{4}}.

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