Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=x^{2} y^{3}+y^{2} \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=x^{2}y^{3}+y^{2}\cos(x).
O conteúdo aqui é derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, tratamos a outra como constante. Usaremos as regras de potência, produto e cadeia.

Passo 2

Para \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante:
  • A derivada de x^{2}y^{3} em relação a x é 2x\,y^{3} (regra de potência).
  • A derivada de y^{2}\cos(x) em relação a x é y^{2}\bigl(-\sin(x)\bigr) (regra da cadeia).
    Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} =2x\,y^{3}-y^{2}\sin(x).

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante:
  • A derivada de x^{2}y^{3} em relação a y é x^{2}\cdot3y^{2}=3x^{2}y^{2}.
  • A derivada de y^{2}\cos(x) em relação a y é 2y\cos(x) (aqui \cos(x) é constante).
    Logo,
\frac{\partial f}{\partial y} =3x^{2}y^{2}+2y\cos(x).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,y^{3}-y^{2}\sin(x), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}y^{2}+2y\cos(x).

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