Aplique a regra da cadeia para calcular a derivada das funções abaixo.
y=\left(\frac{2 x+1}{x+5}\right) \cdot(3 x-1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \left(\frac{2x+1}{x+5}\right)\,(3x-1).
Aqui vamos usar a regra do produto e, dentro dela, a regra do quociente (que é caso particular da regra da cadeia).

Passo 2

Defina
f(x) = \frac{2x+1}{x+5} \quad\text{e}\quad g(x) = 3x-1.
Pela regra do produto:
y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).

Passo 3

Agora calcule f'(x) usando a regra do quociente. Se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u(x)=2x+1 e v(x)=x+5, então
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{2\,(x+5) - (2x+1)\,1}{(x+5)^2}.

Passo 4

Simplificando o numerador de f'(x):
2(x+5) - (2x+1) = 2x + 10 -2x -1 = 9.
Logo
f'(x) = \frac{9}{(x+5)^2}.

Passo 5

A derivada de g(x)=3x-1 é imediata:
g'(x) = 3.

Passo 6

Substituindo em y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x):
y' = \frac{9}{(x+5)^2}\,(3x-1) + \frac{2x+1}{x+5}\,\cdot 3.
Para juntar em único quociente, escreva tudo sobre (x+5)^2:
y' = \frac{9(3x-1) + 3(2x+1)(x+5)}{(x+5)^2}.
Calcule o numerador:
9(3x-1) = 27x - 9,
3(2x+1)(x+5) = 3(2x^2 + 11x +5) = 6x^2 + 33x + 15,
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27x -9 + 6x^2 + 33x +15 = 6x^2 + 60x + 6 = 6\,(x^2 + 10x +1).
Portanto
y' = \frac{6\,(x^2 + 10x +1)}{(x+5)^2}.

Resposta

y' = \frac{6\,(x^2 + 10x +1)}{(x+5)^2}.

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