Aplique a regra da cadeia para calcular a derivada das funções abaixo.
y=\left(4 x^{2}+7\right)^{2} \cdot(2 x+1)^{4}

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a derivada de
y = (4x^2 + 7)^2 \,\cdot\,(2x+1)^4
usando a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar identificar cada fator, derivá-los separadamente e depois aplicar produto.

Passo 2

Definimos
u(x) = (4x^2 + 7)^2
e
v(x) = (2x+1)^4.
Como y = u\,v, a regra do produto diz
y' = u'\,v + u\,v'.

Passo 3

Para achar u', note que u(x) = [g(x)]^2 com g(x)=4x^2+7. Então, pela cadeia,
u' = 2\,g(x)\,\cdot\,g'(x)
e como
g'(x) = \frac{d}{dx}(4x^2+7) = 8x,
segue
u'(x) = 2\,(4x^2+7)\,\cdot\,8x = 16x\,(4x^2+7).

Passo 4

Para v', reparametrizamos v(x)=[h(x)]^4 com h(x)=2x+1. Pela cadeia,
v' = 4\,[h(x)]^3\,\cdot\,h'(x),
e
h'(x) = \frac{d}{dx}(2x+1)=2.
Logo
v'(x) = 4\,(2x+1)^3 \cdot 2 = 8\,(2x+1)^3.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
y' = \bigl[16x\,(4x^2+7)\bigr]\,(2x+1)^4 \;+\;(4x^2+7)^2\,\bigl[8\,(2x+1)^3\bigr].
Em outras palavras,
y' = 16x\,(4x^2+7)\,(2x+1)^4 \;+\; 8\,(4x^2+7)^2\,(2x+1)^3.

Passo 6

Fatoramos o máximo em comum: 8\,(4x^2+7)\,(2x+1)^3. Dentro sobra
2x\,(2x+1)\;+\;(4x^2+7) \;=\;4x^2+2x \;+\; 4x^2+7 \;=\;8x^2+2x+7.
Portanto
y' = 8\,(4x^2+7)\,(2x+1)^3\,(8x^2+2x+7).

Resposta

y' = 8\,(4x^2+7)\,(2x+1)^3\,(8x^2+2x+7).

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