Aplique a regra da cadeia para calcular a derivada das funções abaixo.
f(x)=\left(2 x^{4}+8 x^{2}+1\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(2x^{4}+8x^{2}+1\bigr)^{5}
usando a regra da cadeia. O conteúdo aqui é derivação de função composta: precisamos identificar a parte interna e a parte externa, calcular suas derivadas e aplicar a fórmula da cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=2x^{4}+8x^{2}+1
e a função externa
v(u)=u^{5}.
Assim, f(x)=v\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x) usando a regra do poder em cada termo:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{4}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(8x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}(1) =8x^{3}+16x+0 =8x^{3}+16x.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia, que diz
f'(x)=v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Como v(u)=u^{5}, temos v'(u)=5u^{4}. Logo,
f'(x)=5\bigl(u(x)\bigr)^{4}\cdot\bigl(8x^{3}+16x\bigr) =5\bigl(2x^{4}+8x^{2}+1\bigr)^{4}(8x^{3}+16x).

Passo 5

Simplificamos fatorando 8x em 8x^{3}+16x:
8x^{3}+16x=8x\,(x^{2}+2),
então
f'(x)=5\bigl(2x^{4}+8x^{2}+1\bigr)^{4}\cdot8x\,(x^{2}+2) =40x\,(x^{2}+2)\,\bigl(2x^{4}+8x^{2}+1\bigr)^{4}.

Resposta

f'(x)=40x\,(x^{2}+2)\,\bigl(2x^{4}+8x^{2}+1\bigr)^{4}.

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