Aplique a regra da cadeia para calcular a derivada das funções abaixo.
f(x)=\left(x^{4}+4 x^{2}-1\right)^{-3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\bigl(x^{4}+4x^{2}-1\bigr)^{-3}
Isso é um caso clássico de função composta, então vamos usar a regra da cadeia, que diz: se f(x)=g\bigl(u(x)\bigr), então
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 2

Identificamos a função externa e a função interna:
a) Função externa g(u)=u^{-3}.
b) Função interna u(x)=x^{4}+4x^{2}-1.

Passo 3

Calculamos a derivada de g(u)=u^{-3}. Pela regra do poder,
g'(u)=-3\,u^{-4}.

Passo 4

Agora derivamos a parte interna u(x)=x^{4}+4x^{2}-1. Usando soma e potência,
u'(x)=4x^{3}+8x.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =-3\bigl(x^{4}+4x^{2}-1\bigr)^{-4}\cdot\bigl(4x^{3}+8x\bigr).

Passo 6

Fatoramos 4x^{3}+8x=4x(x^{2}+2) e multiplicamos por -3:
f'(x)=-12x\,(x^{2}+2)\,\bigl(x^{4}+4x^{2}-1\bigr)^{-4}.

Resposta

f'(x)=-12x\,(x^{2}+2)\,\bigl(x^{4}+4x^{2}-1\bigr)^{-4}.

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