Aplique a regra da cadeia e calcule h^prime(x), onde:
h(x)=x^2 e^3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente aplicar a Regra da Cadeia e calcular a derivada de h(x) = x^2 e^3x . Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de funções compostas e do produto de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que h(x) é o produto de duas funções: u(x) = x^2 e v(x) = e^3x . Quando temos o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto para derivar.
A Regra do Produto diz que:
(uv)' = u'v + uv'
Então, precisamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x) .

Passo 3

Vamos derivar u(x) = x^2 . Usando a regra básica de derivação ddxx^n = n x^n-1 , temos:
u'(x) = 2x

Passo 4

Agora, vamos derivar v(x) = e^3x . Aqui, usamos a Regra da Cadeia, porque a função é composta: uma função exponencial com uma função linear dentro.
A Regra da Cadeia diz que:
ddx e^g(x) = e^g(x) cdot g'(x)
No nosso caso, g(x) = 3x , então:
v'(x) = e^3x cdot 3 = 3 e^3x

Passo 5

Agora que temos u'(x) = 2x e v'(x) = 3 e^3x , aplicamos a Regra do Produto:
h'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = (2x)(e^3x) + (x^2)(3 e^3x)

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
h'(x) = 2x e^3x + 3x^2 e^3x
Podemos fatorar e^3x para deixar mais bonito:
h'(x) = e^3x (2x + 3x^2) = e^3x (3x^2 + 2x)

Resposta

A derivada de h(x) = x^2 e^3x é:
h'(x) = e^3x (3x^2 + 2x)

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