Aplique a regra da cadeia e calcule
, onde:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar a sua derivada,
. Isso envolve a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo usada para derivar funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que fazem parte da regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função. No nosso caso, temos uma função externa e uma função interna:
- Função externa:
, onde - Função interna:
Identificar essas partes é fundamental para aplicar a regra da cadeia corretamente.
Passo 3
Agora, vamos derivar a função externa em relação a
. A derivada de
em relação a
é:
Anotamos isso porque, segundo a regra da cadeia, essa será a primeira parte da nossa derivada.
Passo 4
Em seguida, precisamos derivar a função interna
em relação a
. Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma fração de duas funções:
Aqui,
e
. Vamos derivar cada uma:
- Derivada de
: - Derivada de
:
Aplicando a regra do quociente:
Então, a derivada da função interna é
.
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de
é:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Lembrando que
, podemos substituir de volta:
Passo 6
Para simplificar a expressão, podemos combinar as potências de
:
Resposta
A derivada de
é: