Aplique a regra da cadeia e calcule h^prime(x), onde:
h(x)=(xx+1)^10

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a função h(x) = (xx+1)^10 e precisa encontrar a sua derivada, h'(x) . Isso envolve a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo usada para derivar funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que fazem parte da regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função. No nosso caso, temos uma função externa e uma função interna:
  • Função externa: u^10 , onde u = xx+1
  • Função interna: u = xx+1
Identificar essas partes é fundamental para aplicar a regra da cadeia corretamente.

Passo 3

Agora, vamos derivar a função externa em relação a u . A derivada de u^10 em relação a u é:
ddu ( u^10 ) = 10u^9
Anotamos isso porque, segundo a regra da cadeia, essa será a primeira parte da nossa derivada.

Passo 4

Em seguida, precisamos derivar a função interna u = xx+1 em relação a x . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma fração de duas funções:
ddx ( f(x)g(x) ) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2
Aqui, f(x) = x e g(x) = x + 1 . Vamos derivar cada uma:
  • Derivada de f(x) = x : f'(x) = 1
  • Derivada de g(x) = x + 1 : g'(x) = 1
Aplicando a regra do quociente:
ddx ( xx+1 ) = 1 cdot (x + 1) - x cdot 1(x + 1)^2 = x + 1 - x(x + 1)^2 = 1(x + 1)^2
Então, a derivada da função interna é 1(x + 1)^2 .

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de h(x) = [u(x)]^10 é:
h'(x) = ddu ( u^10 ) cdot dudx
Substituindo as derivadas que encontramos:
h'(x) = 10u^9 cdot 1(x + 1)^2
Lembrando que u = xx+1 , podemos substituir de volta:
h'(x) = 10 ( xx+1 )^9 cdot 1(x + 1)^2

Passo 6

Para simplificar a expressão, podemos combinar as potências de x + 1 :
h'(x) = 10 cdot x^9(x + 1)^9 cdot 1(x + 1)^2 = 10 cdot x^9(x + 1)^11

Resposta

A derivada de h(x) = (xx+1)^10 é:
h'(x) = 10x^9(x + 1)^11

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