Aplique a regra da cadeia e calcule h^prime(x), onde:
h(x)=e^2 x cos 2 xsen 2 x+1

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a derivada de
h(x) = e^2xcos(2x)sin(2x) + 1
Para isso, vamos usar a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos o numerador e o denominador:
u(x) = e^2xcos(2x), v(x) = sin(2x) + 1
A regra do quociente diz que
h'(x) = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Calculamos u'(x) aplicando produto e cadeia. Tomando f(x)=e^2x e g(x)=cos(2x):
f'(x) = 2e^2x, g'(x) = -2sin(2x)
Logo, pela regra do produto,
u'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 2e^2xcos(2x) - 2e^2xsin(2x) = 2e^2xl(cos(2x) - sin(2x)r)

Passo 4

Calculamos v'(x) usando cadeia em sin(2x):
v'(x) = 2cos(2x)

Passo 5

Substituímos na fórmula do quociente:
h'(x) = 2e^2x(cos(2x)-sin(2x))(sin(2x)+1) - e^2xcos(2x)cdot2cos(2x)(sin(2x)+1)^2
No numerador, fatoramos 2e^2x:
h'(x) = 2e^2xl[(cos(2x)-sin(2x))(sin(2x)+1) - cos^2(2x)r](sin(2x)+1)^2
Observamos que
(cos(2x)-sin(2x))(sin(2x)+1) - cos^2(2x) = (1+sin(2x))(cos(2x)-1),
então simplificamos um fator 1+sin(2x):
h'(x) = 2e^2x(cos(2x)-1)sin(2x)+1

Resposta

h'(x) = 2e^2xl(cos(2x)-1r)sin(2x)+1

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