Calcule as derivadas das funções usando a regra da cadeia.
f(x)=6 x^2(x^3-7)^4

Passo 1

Resumo do problema: A função dada é f(x) = 6x^2 (x^3 - 7)^4. Para calcular a derivada, vamos usar a combinação da regra do produto com a regra da cadeia.

Passo 2

Identificação das funções: Definimos
u(x) = 6x^2 e v(x) = (x^3 - 7)^4
Assim, f(x) = u(x),v(x).

Passo 3

Cálculo de u'(x):
u(x)=6x^2 implies u'(x)=12x,
usando a regra de potência.

Passo 4

Cálculo de v'(x): aplicamos a regra da cadeia em v(x) = (x^3 - 7)^4. Primeiro derivamos a parte externa:
4(x^3 - 7)^3,
depois multiplicamos pela derivada interna de x^3 - 7, que é 3x^2. Logo,
v'(x) = 4(x^3 - 7)^3 cdot 3x^2 = 12x^2 (x^3 - 7)^3

Passo 5

Aplicação da regra do produto: a derivada é
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Substituindo os resultados:
f'(x) = 12x,(x^3 - 7)^4 + 6x^2l(12x^2 (x^3 - 7)^3r)

Passo 6

Fatoração e simplificação: observamos o fator comum 12x (x^3 - 7)^3. Fatorando:
f'(x) = 12x (x^3 - 7)^3 l((x^3 - 7) + 6x^3r) = 12x (x^3 - 7)^3 (7x^3 - 7)
Além disso, podemos extrair 7 de (7x^3 -7) e reescrever como
f'(x) = 84x (x^3 - 1)(x^3 - 7)^3

Resposta

f'(x) = 12x (x^3 - 7)^3 (7x^3 - 7)

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