Aplique a regra da cadeia e calcule h^prime(x), onde:
h(x)=((x^2+1)^10+1)^8

Passo 1

A questão pede para derivar a função h(x) = ((x^2+1)^10+1)^8 aplicando a regra da cadeia. Esse conteúdo é sobre derivada de funções compostas: precisamos identificar as funções externa e internas e usar a fórmula da cadeia.

Passo 2

Definimos a função externa f(u) = u^8, a função intermediária g(v) = v + 1 e a função interna profunda v(x) = (x^2 + 1)^10. Com isso, podemos reescrever h(x) = fl(g(v(x))r).

Passo 3

Calculamos cada derivada:\nA derivada de f(u) é f'(u) = 8u^7.\nA derivada de g(v) é g'(v) = 1.\nPara v(x) = (x^2 + 1)^10 usamos a cadeia de novo (interna: x^2+1, externa: potência 10):
v'(x) = 10(x^2+1)^9 cdot (2x) = 20x(x^2+1)^9

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia de forma encadeada: h'(x) = f'(g(v(x))) cdot g'(v(x)) cdot v'(x) Substituindo cada derivada, obtemos
h'(x) = 8l((x^2+1)^10+1r)^7 cdot 1 cdot 20x(x^2+1)^9

Passo 5

Por fim, simplificamos o fator numérico e agrupamos as potências de x^2+1:
h'(x) = 160x,(x^2+1)^9,l((x^2+1)^10+1r)^7

Resposta

h'(x) = 160x,(x^2+1)^9,l((x^2+1)^10+1r)^7

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