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e
, é verdadeiro que
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que estamos vendo é: se temos duas funções, $ f(x) = x - \sqrt{2 - x} $ e $ g(u) = u - \sqrt{2 - u} $, será que $ f $ é igual a $ g $? Vamos abordar isso usando conceitos de funções e igualdade de funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa duas funções serem iguais. Duas funções são consideradas iguais se, para todo valor que está no domínio delas, os resultados das funções são iguais. Ou seja, se para todo $ x $ no domínio de $ f $ e $ g $, temos $ f(x) = g(x) $, então $ f = g $.
Passo 3
Agora, vamos analisar as funções dadas:
- $ f(x) = x - \sqrt{2 - x} $
- $ g(u) = u - \sqrt{2 - u} $
A primeira coisa a notar é que as duas funções têm a mesma estrutura; a única diferença está no nome da variável: $ x $ em $ f $ e $ u $ em $ g $. Na matemática, o nome da variável é apenas um rótulo e não afeta a funcionalidade da expressão.
Passo 4
Para confirmar se $ f $ e $ g $ são iguais, vamos substituir $ u $ por $ x $ na função $ g $. Isso não muda nada na função, apenas deixa a variável com o mesmo nome:
- $ g(x) = x - \sqrt{2 - x} $
Agora, comparemos $ f(x) $ e $ g(x) $:
- $ f(x) = x - \sqrt{2 - x} $
- $ g(x) = x - \sqrt{2 - x} $
Vemos que ambas as expressões são idênticas.
Passo 5
Além disso, é importante verificar o domínio das funções, ou seja, os valores de $ x $ para os quais as funções estão definidas. Para $ f(x) $ e $ g(u) $, a expressão dentro da raiz quadrada, $ 2 - x $ ou $ 2 - u $, precisa ser maior ou igual a zero:
- $ 2 - x \geq 0 $ → $ x \leq 2 $
- $ 2 - u \geq 0 $ → $ u \leq 2 $
Portanto, ambas as funções estão definidas para valores menores ou iguais a 2, e como seus domínios são os mesmos, isso reforça que $ f $ e $ g $ são iguais.
Resposta
Sim, as funções $ f $ e $ g $ são iguais, ou seja, $ f = g $.