Aplique a regra da cadeia em f(x)=\ln \left(\sin x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\ln\bigl(\sin(x^2)\bigr)
usando a regra da cadeia. Vamos precisar das fórmulas
  • \bigl(\ln(u)\bigr)' = \frac{u'}{u},
  • \bigl(\sin(v)\bigr)' = \cos(v)\,v',
  • \bigl(x^2\bigr)' = 2x.

Passo 2

Identificamos três camadas de função:
f(x) = g\bigl(h(p(x))\bigr)
com
p(x)=x^2,\quad h(s)=\sin(s),\quad g(t)=\ln(t).

Passo 3

Pela regra da cadeia em cascata,
f'(x) = g'\bigl(h(p(x))\bigr)\;\cdot\;h'\bigl(p(x)\bigr)\;\cdot\;p'(x).
Agora as derivadas parciais:
g'(t)=\frac1t,\quad h'(s)=\cos(s),\quad p'(x)=2x.

Passo 4

Substituindo t=h(p(x))=\sin(x^2) e s=p(x)=x^2, obtemos
f'(x) = \frac{1}{\sin(x^2)}\;\cdot\;\cos(x^2)\;\cdot\;2x = \frac{2x\cos(x^2)}{\sin(x^2)} = 2x\,\cot\bigl(x^2\bigr).

Resposta

f'(x)=2x\,\cot\bigl(x^2\bigr).

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