Calcule f^{\prime}(x) para f(x)=e^{1 / x}.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a derivada de f(x)=e^{1/x}. O conteúdo envolve a regra da cadeia para exponencial composta e a derivada de 1/x.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\frac{1}{x}.
Assim podemos reescrever
f(x)=e^{u(x)}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u. Como u(x)=x^{-1}, segue que
u'(x)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos
f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x)=e^{1/x}\cdot\biggl(-\frac{1}{x^{2}}\biggr).

Resposta

f'(x)=-\frac{e^{1/x}}{x^{2}}.

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