Aplique a regra da cadeia para resolver as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para encontrar a derivada dessa função em relação a
. Informação relevante dada:
- A função é uma potência de expoente
aplicada a uma expressão em . - Não há outros dados (como valor de
) — o objetivo é obter a expressão da derivada .
Passo 2
Reconhecer a estrutura da função (isso ajuda a organizar a solução). A função é uma composição de duas funções:
- Função externa:
, onde é uma variável qualquer. - Função interna:
.
Explicando de modo simples: a cada
primeiro calcula-se
e depois eleva-se esse resultado à potência
. Quando temos uma composição assim, ao derivar precisamos cuidar de como a variação de
afeta primeiro
e depois
.
Passo 3
Lembrando a regra básica para derivar uma potência em função de uma variável: se
com
constante, então
Aqui
, então a derivada da função externa em relação a
é
Explicação curta do porquê: a regra do expoente diz que você “desce” o expoente e multiplica pela mesma base elevada ao expoente menos um — é a receita padrão para potências.
Passo 4
Agora derivar a função interna
. A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas, e a derivada de
é
. Assim,
Comentário: a constante
some porque a derivada de constante é zero.
Passo 5
Apresentar a regra da cadeia (forma prática e intuitiva). Se
, então
Isto significa: derivar a função externa em relação a
e avaliar em
, depois multiplicar pela derivada da função interna.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia aos componentes que já calculamos. Substituindo
com
e multiplicando por
, obtemos
Passo 7
Fazer a simplificação final (multiplicar constantes e arrumar fatores). Multiplicando
por
resulta em
, então
Essa é a forma mais enxuta e prática para usar na prova.
Passo 8
Pequena verificação rápida e intuição: se
, então
e a derivada vale
, o que faz sentido porque em
a função tem mínimo local (a potência de algo nulo). Também é possível reescrever a derivada factorizando
de outras maneiras, mas a forma acima é a mais direta.