Aplique a regra da cadeia para resolver as derivadas das seguintes funções:
\mathrm{Y}=\left(x^{3}-1\right)^{100}

Passo 1

O enunciado fornece a função
\mathrm{Y}=\left(x^{3}-1\right)^{100}
e pede para encontrar a derivada dessa função em relação a x. Informação relevante dada:
  • A função é uma potência de expoente 100 aplicada a uma expressão em x.
  • Não há outros dados (como valor de x) — o objetivo é obter a expressão da derivada \dfrac{d\mathrm{Y}}{dx}.

Passo 2

Reconhecer a estrutura da função (isso ajuda a organizar a solução). A função é uma composição de duas funções:
  • Função externa: f(u)=u^{100}, onde u é uma variável qualquer.
  • Função interna: u(x)=x^{3}-1.
Explicando de modo simples: a cada x primeiro calcula-se u(x)=x^{3}-1 e depois eleva-se esse resultado à potência 100. Quando temos uma composição assim, ao derivar precisamos cuidar de como a variação de x afeta primeiro u e depois f.

Passo 3

Lembrando a regra básica para derivar uma potência em função de uma variável: se f(u)=u^{n} com n constante, então
f'(u)=n\,u^{n-1}.
Aqui n=100, então a derivada da função externa em relação a u é
\frac{d}{du}\bigl(u^{100}\bigr)=100\,u^{99}.
Explicação curta do porquê: a regra do expoente diz que você “desce” o expoente e multiplica pela mesma base elevada ao expoente menos um — é a receita padrão para potências.

Passo 4

Agora derivar a função interna u(x)=x^{3}-1. A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas, e a derivada de x^{3} é 3x^{2}. Assim,
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-1\bigr)=3x^{2}-0=3x^{2}.
Comentário: a constante -1 some porque a derivada de constante é zero.

Passo 5

Apresentar a regra da cadeia (forma prática e intuitiva). Se \mathrm{Y}=f(u(x)), então
\frac{d\mathrm{Y}}{dx}=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Isto significa: derivar a função externa em relação a u e avaliar em u(x), depois multiplicar pela derivada da função interna.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia aos componentes que já calculamos. Substituindo f'(u)=100\,u^{99} com u=x^{3}-1 e multiplicando por u'(x)=3x^{2}, obtemos
\frac{d\mathrm{Y}}{dx}=100\bigl(x^{3}-1\bigr)^{99}\cdot 3x^{2}.

Passo 7

Fazer a simplificação final (multiplicar constantes e arrumar fatores). Multiplicando 100 por 3 resulta em 300, então
\frac{d\mathrm{Y}}{dx}=300\,x^{2}\bigl(x^{3}-1\bigr)^{99}.
Essa é a forma mais enxuta e prática para usar na prova.

Passo 8

Pequena verificação rápida e intuição: se x=1, então \bigl(x^{3}-1\bigr)^{99}=0 e a derivada vale 0, o que faz sentido porque em x=1 a função tem mínimo local (a potência de algo nulo). Também é possível reescrever a derivada factorizando \bigl(x^{3}-1\bigr)^{99} de outras maneiras, mas a forma acima é a mais direta.

Resposta

\frac{d\mathrm{Y}}{dx}=300\,x^{2}\bigl(x^{3}-1\bigr)^{99}

Exercícios relacionados