Aplique a regra da cadeia para resolver as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função está dada explicitamente em termos de
. - O que se pede é
. - A expressão no denominador é
, um polinômio simples; nada mais foi fornecido.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a função usando potência para facilitar as regras de derivação. A raiz cúbica corresponde a expoente
, e o fator fica no denominador, portanto
Essa forma é útil porque permite aplicar a regra da potência combinada com a regra da cadeia.
Passo 3
Explicar a regra que vamos usar (regra da cadeia e regra da potência), devagarinho e com exemplo.
- Regra da cadeia (em palavras): se
, ou seja, uma função composta, então a derivada é
Aqui
é a função externa e
é a função interna.
- Regra da potência (caso particular útil): se
com constante, então . Aplicando a regra da cadeia para obtemos
Explicando as variáveis:
é a “parte de dentro” que depende de
;
é o expoente fixo. Primeiro derivamos a parte externa como se fosse
, depois multiplicamos pela derivada da parte interna
.
Passo 4
Identificar função externa e interna no nosso caso:
- Função externa:
. - Função interna:
.
Calcular as derivadas parciais:
- Derivada da externa em relação a
:
porque aplicamos a regra da potência com
.
- Derivada da interna em relação a
:
Expliquei: a derivada de
é
, de
é
e de constante
é
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia juntando as duas derivadas:
Substituindo
obtemos
Passo 6
Deixar o resultado numa forma mais convencional (colocar o fator
no numerador e o resto no denominador):
Pequena verificação mental: o sinal negativo vem do expoente negativo original; o expoente em
no denominador ficou
(porque
); e apareceu o fator
da derivada interna. Esse é exatamente o padrão da cadeia para potências compostas.
Passo 7
Dica para a prova (passo a passo rápido que dá pra decorar e aplicar sem medo):
- Reescreva raízes como potências:
e o inverso como expoente negativo. - Identifique
(o que está dentro da potência) e calcule . - Aplique
. - Simplifique o sinal e coloque o fator linear (como
) no numerador.
Vai dar certo — respira e aplica a receita.