Aplique a regra da cadeia para resolver as derivadas das seguintes funções:
Y=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}+x+1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
Y=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}+x+1}}.
Informações dadas:
  • A função está dada explicitamente em termos de x.
  • O que se pede é Y'=\dfrac{dY}{dx}.
  • A expressão no denominador é x^{2}+x+1, um polinômio simples; nada mais foi fornecido.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a função usando potência para facilitar as regras de derivação. A raiz cúbica corresponde a expoente 1/3, e o fator fica no denominador, portanto
Y=(x^{2}+x+1)^{-1/3}.
Essa forma é útil porque permite aplicar a regra da potência combinada com a regra da cadeia.

Passo 3

Explicar a regra que vamos usar (regra da cadeia e regra da potência), devagarinho e com exemplo.
  • Regra da cadeia (em palavras): se Y=f(g(x)), ou seja, uma função composta, então a derivada é
Y'=f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui f é a função externa e g é a função interna.
  • Regra da potência (caso particular útil): se f(u)=u^{n} com n constante, então f'(u)=n u^{n-1}. Aplicando a regra da cadeia para Y=(g(x))^{n} obtemos
\frac{d}{dx}(g(x))^{n}=n\,(g(x))^{n-1}\cdot g'(x).
Explicando as variáveis: u=g(x) é a “parte de dentro” que depende de x; n é o expoente fixo. Primeiro derivamos a parte externa como se fosse u^{n}, depois multiplicamos pela derivada da parte interna g'(x).

Passo 4

Identificar função externa e interna no nosso caso:
  • Função externa: f(u)=u^{-1/3}.
  • Função interna: u(x)=x^{2}+x+1.
Calcular as derivadas parciais:
  • Derivada da externa em relação a u:
f'(u)=-\frac{1}{3}\,u^{-4/3},
porque aplicamos a regra da potência com n=-\tfrac{1}{3}.
  • Derivada da interna em relação a x:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}+x+1)=2x+1.
Expliquei: a derivada de x^{2} é 2x, de x é 1 e de constante 1 é 0.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia juntando as duas derivadas:
Y'=f'(u(x))\cdot u'(x) =-\frac{1}{3}\,(u(x))^{-4/3}\cdot(2x+1).
Substituindo u(x)=x^{2}+x+1 obtemos
Y'=-\frac{1}{3}\,(x^{2}+x+1)^{-4/3}\,(2x+1).

Passo 6

Deixar o resultado numa forma mais convencional (colocar o fator 2x+1 no numerador e o resto no denominador):
Y'=-\frac{2x+1}{3\,(x^{2}+x+1)^{4/3}}.
Pequena verificação mental: o sinal negativo vem do expoente negativo original; o expoente em x^{2}+x+1 no denominador ficou 4/3 (porque -1/3-1=-4/3); e apareceu o fator 2x+1 da derivada interna. Esse é exatamente o padrão da cadeia para potências compostas.

Passo 7

Dica para a prova (passo a passo rápido que dá pra decorar e aplicar sem medo):
  1. Reescreva raízes como potências: \sqrt[3]{\cdot}=(\cdot)^{1/3} e o inverso como expoente negativo.
  2. Identifique u(x) (o que está dentro da potência) e calcule u'(x).
  3. Aplique n\,(u(x))^{n-1}\cdot u'(x).
  4. Simplifique o sinal e coloque o fator linear (como 2x+1) no numerador.
    Vai dar certo — respira e aplica a receita.

Resposta

Y'=-\frac{2x+1}{3\,(x^{2}+x+1)^{4/3}}

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