Aplique a regra da cadeia para resolver as derivadas das seguintes funções:
\mathrm{Y}=\left(\frac{t-2}{2 t+1}\right)^{9}

Passo 1

O enunciado dá a função
\mathrm{Y}=\left(\frac{t-2}{2t+1}\right)^{9}
e pede a derivada de \mathrm{Y} em relação a t. Vou listar claramente o que temos:
  • A função é uma potência de algo que depende de t: a base é \dfrac{t-2}{2t+1} e o expoente é 9.
  • Queremos \dfrac{d\mathrm{Y}}{dt} (ou \mathrm{Y}').

Passo 2

Idea geral (sem calcular ainda): quando uma função tem a forma composta h(g(t)), usamos a regra da cadeia: a derivada é h'(g(t))\cdot g'(t). Aqui podemos identificar
g(t)=\frac{t-2}{2t+1},\qquad h(u)=u^{9}\quad\text{com }u=g(t).
Então aplicaremos a regra da cadeia com h(u)=u^9 e u=g(t).

Passo 3

Lembrete/mini-aula sobre a regra da cadeia (do jeito simples):
  • Se \mathrm{Y}=h(g(t)), então
\frac{d\mathrm{Y}}{dt}=h'(g(t))\cdot g'(t).
  • No nosso caso h(u)=u^9. A derivada de u^9 em relação a u é 9u^{8}. Ou seja,
h'(u)=9u^{8},
logo, aplicando para u=g(t),
h'(g(t))=9\left(g(t)\right)^{8}=9\left(\frac{t-2}{2t+1}\right)^{8}.

Passo 4

Agora precisamos de g'(t), ou seja, a derivada da função racional
g(t)=\frac{t-2}{2t+1}.
Para derivar uma razão usamos a regra do quociente: se g(t)=\dfrac{v(t)}{w(t)} então
g'(t)=\frac{v'(t)w(t)-v(t)w'(t)}{[w(t)]^{2}}.
Aqui v(t)=t-2 e w(t)=2t+1.

Passo 5

Calculemos v'(t) e w'(t):
v'(t)=\frac{d}{dt}(t-2)=1, \qquad w'(t)=\frac{d}{dt}(2t+1)=2.
Aplicando a regra do quociente:
g'(t)=\frac{(1)\cdot(2t+1)-(t-2)\cdot(2)}{(2t+1)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador:
(1)(2t+1)-2(t-2)=2t+1-2t+4=5.
Portanto
g'(t)=\frac{5}{(2t+1)^{2}}.

Passo 6

Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
\frac{d\mathrm{Y}}{dt}=h'(g(t))\cdot g'(t) =9\left(\frac{t-2}{2t+1}\right)^{8}\cdot\frac{5}{(2t+1)^{2}}.
Multiplicando as constantes 9 e 5 e combinando potências de (2t+1), obtemos
\frac{d\mathrm{Y}}{dt}=\frac{45\,(t-2)^{8}}{(2t+1)^{8}\,(2t+1)^{2}}=\frac{45\,(t-2)^{8}}{(2t+1)^{10}}.

Resposta

\frac{d\mathrm{Y}}{dt}=\frac{45\,(t-2)^{8}}{(2t+1)^{10}}

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