Aplique a regra da cadeia para resolver as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de
em relação a
. Vou listar claramente o que temos:
- A função é uma potência de algo que depende de
: a base é e o expoente é . - Queremos
(ou ).
Passo 2
Idea geral (sem calcular ainda): quando uma função tem a forma composta
, usamos a regra da cadeia: a derivada é
. Aqui podemos identificar
Então aplicaremos a regra da cadeia com
e
.
Passo 3
Lembrete/mini-aula sobre a regra da cadeia (do jeito simples):
- Se
, então
- No nosso caso
. A derivada de em relação a é . Ou seja,
logo, aplicando para
,
Passo 4
Agora precisamos de
, ou seja, a derivada da função racional
Para derivar uma razão usamos a regra do quociente: se
então
Aqui
e
.
Passo 5
Calculemos
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Agora simplificamos o numerador:
Portanto
Passo 6
Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
Multiplicando as constantes
e
e combinando potências de
, obtemos