Calcule f^{\prime}(x) e f^{\prime \prime}(x) de:
f(x)=4 \operatorname{sen}(x)+3 \cos (x)+2 x^{3}-9

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=4\operatorname{sen}(x)+3\cos(x)+2x^{3}-9
e pede dois objetos: f^{\prime}(x) (a derivada primeira) e f^{\prime\prime}(x) (a derivada segunda).
Informações relevantes dadas:
  • A função é soma de termos trigonométricos, um polinômio e uma constante.
  • É preciso calcular derivadas term-by-term (derivar cada termo e somar).

Passo 2

Regra de linearidade (que vamos usar sem dó): a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes saem na frente:
\text{Se }h(x)=a\cdot g(x)+b\cdot k(x)\text{ então }h'(x)=a\cdot g'(x)+b\cdot k'(x),ã
onde a e b são constantes e g,k são funções.
Explicando em miúdos: dá para derivar cada parcela separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Regra do poder (para polinômios): a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,.
Ou seja,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando ao termo polinomial da nossa função: para \,2x^{3}\,,
\frac{d}{dx}(2x^{3})=2\cdot\frac{d}{dx}(x^{3})=2\cdot(3x^{2})=6x^{2}.
A constante -9 tem derivada zero:
\frac{d}{dx}(-9)=0.

Passo 4

Derivadas básicas das funções trigonométricas (muito usadas):
  • A derivada de \sin(x) é \cos(x):
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
  • A derivada de \cos(x) é -\sin(x):
\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Intuição rápida: a inclinação da seno em cada ponto vale cosseno naquele ponto; a inclinação do cosseno é o negativo do seno.

Passo 5

Agora aplicamos tudo termo a termo na função original. Derivando cada parcela:
  • Para 4\operatorname{sen}(x): a constante 4 sai na frente e usamos \frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x), logo
\frac{d}{dx}[4\operatorname{sen}(x)]=4\cos(x).
  • Para 3\cos(x): a constante 3 sai na frente e \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x), logo
\frac{d}{dx}[3\cos(x)]=3\cdot(-\sin(x))=-3\sin(x).
  • Para 2x^{3} já calculamos: \frac{d}{dx}(2x^{3})=6x^{2}.
  • Para -9: \frac{d}{dx}(-9)=0.
Somando as derivadas parciais pela linearidade:
f^{\prime}(x)=4\cos(x)-3\sin(x)+6x^{2}.

Passo 6

Agora calculamos a derivada segunda f^{\prime\prime}(x) derivando f^{\prime}(x) termo a termo, usando novamente as regras anteriores.
Começando de
f^{\prime}(x)=4\cos(x)-3\sin(x)+6x^{2},
derivamos cada termo:
  • \frac{d}{dx}[4\cos(x)]=4\cdot\frac{d}{dx}\cos(x)=4\cdot(-\sin(x))=-4\sin(x).
  • \frac{d}{dx}[-3\sin(x)]=-3\cdot\frac{d}{dx}\sin(x)=-3\cos(x).
  • \frac{d}{dx}[6x^{2}]=6\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=6\cdot(2x)=12x.
Somando:
f^{\prime\prime}(x)=-4\sin(x)-3\cos(x)+12x.

Passo 7

Resumo rápido de verificação: cada passo usou regras elementares (linearidade, regra do poder e derivadas de \sin e \cos). Se quiser, na prova faça term-by-term exatamente como aqui; é rápido e seguro.

Resposta

f^{\prime}(x)=4\cos(x)-3\sin(x)+6x^{2}
f^{\prime\prime}(x)=-4\sin(x)-3\cos(x)+12x

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