Calcule
e
de:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede dois objetos:
(a derivada primeira) e
(a derivada segunda).
Informações relevantes dadas:
- A função é soma de termos trigonométricos, um polinômio e uma constante.
- É preciso calcular derivadas term-by-term (derivar cada termo e somar).
Passo 2
Regra de linearidade (que vamos usar sem dó): a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes saem na frente:
onde
e
são constantes e
são funções.
Explicando em miúdos: dá para derivar cada parcela separadamente e depois somar os resultados.
Explicando em miúdos: dá para derivar cada parcela separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Regra do poder (para polinômios): a derivada de
é
.
Ou seja,
Ou seja,
Aplicando ao termo polinomial da nossa função: para
,
A constante
tem derivada zero:
Passo 4
Derivadas básicas das funções trigonométricas (muito usadas):
- A derivada de
é :
- A derivada de
é :
Intuição rápida: a inclinação da seno em cada ponto vale cosseno naquele ponto; a inclinação do cosseno é o negativo do seno.
Passo 5
Agora aplicamos tudo termo a termo na função original. Derivando cada parcela:
- Para
: a constante sai na frente e usamos , logo
- Para
: a constante sai na frente e , logo
- Para
já calculamos: . - Para
: .
Somando as derivadas parciais pela linearidade:
Passo 6
Agora calculamos a derivada segunda
derivando
termo a termo, usando novamente as regras anteriores.
Começando de
derivamos cada termo:
Somando:
Passo 7
Resumo rápido de verificação: cada passo usou regras elementares (linearidade, regra do poder e derivadas de
e
). Se quiser, na prova faça term-by-term exatamente como aqui; é rápido e seguro.