Aplique a regra da cadeia para resolver as derivadas das seguintes funções:
Y=(2 x+1)^{4}\left(x^{3}-x+1\right)^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função
Y=(2x+1)^{4}\left(x^{3}-x+1\right)^{4}
e pede para calcular a derivada Y' (ou \dfrac{dY}{dx}).
Informações relevantes: a função é um produto de duas partes, cada uma elevada à quarta potência. Não há outros dados numéricos nem imagens.

Passo 2

Antes de começar a conta, vamos lembrar duas regras que vamos usar (explicadas de forma simples e com o que cada símbolo significa).
  • Regra do produto: se Y=u(x)\,v(x), então
Y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x e v'(x) é a derivada de v em relação a x.
  • Regra da cadeia: se w(x)=f(g(x)), isto é, w é uma função composta (uma função f aplicada sobre g(x)), então
w'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Em palavras: derivar a função externa f mantendo a interna g(x), e multiplicar pela derivada da função interna g'(x).
Vou aplicar essas duas regras: produto para as duas potências multiplicadas, e cadeia para derivar cada potência.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto:
u(x)=(2x+1)^{4},\qquad v(x)=\big(x^{3}-x+1\big)^{4}.
Agora calculamos u'(x) usando a regra da cadeia. A função externa é f(t)=t^{4} e a interna é t=2x+1. Derivando:
f'(t)=4t^{3}\quad\text{e}\quad (2x+1)'=2.
Aplicando a cadeia:
u'(x)=4\big(2x+1\big)^{3}\cdot 2 = 8\big(2x+1\big)^{3}.

Passo 4

Agora calculamos v'(x). Aqui a função externa é f(t)=t^{4} e a interna é t=x^{3}-x+1. Derivando:
f'(t)=4t^{3}\quad\text{e}\quad (x^{3}-x+1)'=3x^{2}-1.
Aplicando a regra da cadeia:
v'(x)=4\big(x^{3}-x+1\big)^{3}\cdot\big(3x^{2}-1\big).

Passo 5

Aplicamos a regra do produto Y'=u'v+uv'. Substituindo u,v,u',v' que encontramos:
Y' = 8\big(2x+1\big)^{3}\cdot\big(x^{3}-x+1\big)^{4} + \big(2x+1\big)^{4}\cdot 4\big(x^{3}-x+1\big)^{3}\big(3x^{2}-1\big).

Passo 6

Vamos fatorar termos comuns para simplificar. Note que ambos os termos têm fator \,4\big(2x+1\big)^{3}\big(x^{3}-x+1\big)^{3}. Fatorando isso obtemos:
Y' = 4\big(2x+1\big)^{3}\big(x^{3}-x+1\big)^{3}\Big[\,2\big(x^{3}-x+1\big) +\big(2x+1\big)\big(3x^{2}-1\big)\Big].

Passo 7

Agora simplificamos o colchete calculando as duas parcelas internas:
2\big(x^{3}-x+1\big)=2x^{3}-2x+2,
\big(2x+1\big)\big(3x^{2}-1\big)=6x^{3}+3x^{2}-2x-1.
Somando:
2x^{3}-2x+2 + 6x^{3}+3x^{2}-2x-1 = 8x^{3}+3x^{2}-4x+1.
Substituindo de volta:
Y' = 4\big(2x+1\big)^{3}\big(x^{3}-x+1\big)^{3}\big(8x^{3}+3x^{2}-4x+1\big).

Resposta

Y'=4\big(2x+1\big)^{3}\big(x^{3}-x+1\big)^{3}\big(8x^{3}+3x^{2}-4x+1\big)

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