Calcule as derivadas das funções a seguir:
y=10^{3 x}\

Passo 1

O enunciado dá a função
y=10^{3x}
e pede que se calcule a derivada dessa função, isto é, y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Ideia que vamos usar (sem pular passos): existe uma fórmula geral para derivar potências de base positiva que dependem de x. Se y=a^{u(x)} com a>0 constante e u(x) função diferenciável, então uma forma prática é reescrever a potência em termos da exponencial natural:
a^{u(x)} = e^{u(x)\ln(a)}.
Isso é verdade porque e^{\ln(a)}=a e usamos a propriedade e^{\alpha+\beta}=e^\alpha e^\beta.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de derivação da exponencial composta. Se y=e^{v(x)} então
\frac{d}{dx}e^{v(x)} = e^{v(x)}\cdot v'(x).
No nosso caso, tomando v(x)=u(x)\ln(a), obtemos
\frac{d}{dx}a^{u(x)}=\frac{d}{dx}e^{u(x)\ln(a)}=e^{u(x)\ln(a)}\cdot\big(u'(x)\ln(a)\big).
Voltando para a^{u(x)}, isso fica
\frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\cdot \ln(a)\cdot u'(x).

Passo 4

Aplique a fórmula ao caso concreto. Na função dada, a base é a=10 e o expoente é u(x)=3x. Calcule u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x)=3.

Passo 5

Substituindo na fórmula geral:
\frac{dy}{dx}=10^{3x}\cdot \ln(10)\cdot 3.
Organizando,
\frac{dy}{dx}=3\ln(10)\cdot 10^{3x}.

Passo 6

Comentário final curto e motivador: essa é a forma padrão — potência com base fixa e expoente dependente de x resulta em função original vezes \ln(\text{base}) vezes a derivada do expoente. Dá pra decorar com calma: "deriva a^{u(x)} = a^{u(x)}\ln(a)u'(x)". Vai dar certo na prova!

Resposta

\frac{dy}{dx}=3\ln(10)\cdot 10^{3x}

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