Aplique a regra de L’Hôpital (mais de uma vez, se for necessário) para resolver os limites abaixo. Explicite as indeterminações e indique a passagem em que foi aplicada a regra.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e comportamento inicial das expressões quando
:
e
Portanto, a forma da expressão é do tipo
, ou seja, uma indeterminação do tipo
. A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Transformação que elimina a forma produto para poder aplicar a regra de L’Hôpital: escrevemos o produto como quociente
Agora analisamos os limites do numerador e do denominador separadamente quando
:
logo o quociente tem a forma
, que é uma indeterminação do tipo
. Nessas condições podemos aplicar a regra de L’Hôpital: se
e
e as derivadas existem, então
quando o limite à direita existir.
Passo 3
Aplicação da regra de L’Hôpital (primeira e única aplicação necessária aqui). Calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
derivada do numerador :
derivada do numerador
derivada do denominador
:
Pelo teorema de L’Hôpital,
Agora simplificamos a expressão:
Portanto nosso limite virou
Passo 4
Avaliação do limite simplificado. Reescrevemos para ficar claro:
Usamos o limite conhecido e muito básico
o que implica
Além disso
. Assim
Portanto
Passo 5
Resumo da aplicação da regra: transformamos a indeterminação
em
que é
. Aplicamos a regra de L’Hôpital uma vez (passo 3), diferenciando numerador e denominador, e obtivemos uma expressão que tende a
. Logo o limite original é
.