Aplique a regra de L’Hôpital (mais de uma vez, se for necessário) para resolver os limites abaixo. Explicite as indeterminações e indique a passagem em que foi aplicada a regra.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln (\operatorname{sen} x)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} x\ln(\operatorname{sen} x).
Informações dadas e comportamento inicial das expressões quando x\to 0^{+}:
\operatorname{sen}0=0,\qquad \ln(\operatorname{sen} x)\to -\infty\\ \text{quando}\\ x\to 0^{+},
e
x\to 0^{+}.
Portanto, a forma da expressão é do tipo 0\cdot(-\infty), ou seja, uma indeterminação do tipo 0\cdot(-\infty). A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Transformação que elimina a forma produto para poder aplicar a regra de L’Hôpital: escrevemos o produto como quociente
x\ln(\operatorname{sen} x)=\frac{\ln(\operatorname{sen} x)}{1/x}.
Agora analisamos os limites do numerador e do denominador separadamente quando x\to 0^{+}:
\ln(\operatorname{sen} x)\to -\infty,\qquad \frac{1}{x}\to +\infty,
logo o quociente tem a forma \dfrac{-\infty}{+\infty}, que é uma indeterminação do tipo \dfrac{\infty}{\infty}. Nessas condições podemos aplicar a regra de L’Hôpital: se \lim f(x)=\pm\infty e \lim g(x)=\pm\infty e as derivadas existem, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite à direita existir.

Passo 3

Aplicação da regra de L’Hôpital (primeira e única aplicação necessária aqui). Calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
derivada do numerador \ln(\operatorname{sen} x):
\frac{d}{dx}\ln(\operatorname{sen} x)=\frac{1}{\operatorname{sen} x}\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{sen} x)=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}.
derivada do denominador 1/x:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}.
Pelo teorema de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln(\operatorname{sen} x)}{1/x} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}}{-\dfrac{1}{x^{2}}}.
Agora simplificamos a expressão:
\frac{\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}}{-\dfrac{1}{x^{2}}} = -x^{2}\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}.
Portanto nosso limite virou
\lim_{x\to 0^{+}} -x^{2}\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}.

Passo 4

Avaliação do limite simplificado. Reescrevemos para ficar claro:
-x^{2}\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} = -x\cdot\left( \frac{x\cos x}{\operatorname{sen} x}\right).
Usamos o limite conhecido e muito básico
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1,
o que implica
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen} x}=1.
Além disso \lim_{x\to 0}\cos x=1. Assim
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x\cos x}{\operatorname{sen} x} = \left(\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x}{\operatorname{sen} x}\right)\left(\lim_{x\to 0^{+}}\cos x\right)=1\cdot 1=1.
Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} -x\cdot\left( \frac{x\cos x}{\operatorname{sen} x}\right) = \lim_{x\to 0^{+}} (-x)\cdot 1 = 0.

Passo 5

Resumo da aplicação da regra: transformamos a indeterminação 0\cdot(-\infty) em \dfrac{\ln(\operatorname{sen} x)}{1/x} que é \dfrac{-\infty}{+\infty}. Aplicamos a regra de L’Hôpital uma vez (passo 3), diferenciando numerador e denominador, e obtivemos uma expressão que tende a 0. Logo o limite original é 0.

Resposta

0

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