Derive as funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada dessa função, ou seja, encontrar
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A base da potência é
. - O expoente é a função
.
A tarefa é calcular a derivada deem relação a .
Passo 2
Escolha do método: vou usar a regra da cadeia aplicada à exponencial e a identidade que relaciona potências de base arbitrária com a função exponencial de base
.
Motivo: essa é uma maneira direta e conceitualmente clara de obter a derivada de . Também poderíamos usar a fórmula pronta
, mas é melhor eu mostrar de onde ela vem para você entender e poder aplicar na prova.
Motivo: essa é uma maneira direta e conceitualmente clara de obter a derivada de
Passo 3
Derivação da fórmula geral (aula rápida): seja
com
e
diferenciável. Reescrevemos usando a exponencial natural:
Agora aplicamos a regra da cadeia para derivar
: a derivada é
. Aqui
. Logo,
Como
é constante,
. Portanto
Voltando para a base
(pois
), obtemos a fórmula desejada:
Explicação das letras:
é a base fixa (>0),
é o expoente que depende de
, e
é a derivada do expoente.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso: identifique
e
. Primeiro calculemos
:
Agora use a fórmula
:
Passo 5
Organizando o resultado (multiplicando as constantes):
Interpretação rápida: a derivada mantém a função original
multiplicada por
(que vem da mudança para base
) e por
(que é a derivada do expoente
).
Exemplo extra curto para fixar: se então, pela mesma regra com
e
, temos
.
Exemplo extra curto para fixar: se