Derive as funções abaixo.
f(x)=2^{3 x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2^{3 x^{2}} e pede a derivada dessa função, ou seja, encontrar f'(x).
Informações relevantes:
  • A base da potência é 2.
  • O expoente é a função 3x^{2}.
    A tarefa é calcular a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Escolha do método: vou usar a regra da cadeia aplicada à exponencial e a identidade que relaciona potências de base arbitrária com a função exponencial de base e.
Motivo: essa é uma maneira direta e conceitualmente clara de obter a derivada de a^{u(x)}. Também poderíamos usar a fórmula pronta \frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x), mas é melhor eu mostrar de onde ela vem para você entender e poder aplicar na prova.

Passo 3

Derivação da fórmula geral (aula rápida): seja y=a^{u(x)} com a>0 e u(x) diferenciável. Reescrevemos usando a exponencial natural:
y = a^{u(x)} = e^{u(x)\ln a}.
Agora aplicamos a regra da cadeia para derivar e^{v(x)}: a derivada é e^{v(x)}\cdot v'(x). Aqui v(x)=u(x)\ln a. Logo,
\frac{dy}{dx} = e^{u(x)\ln a}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(u(x)\ln a\bigr).
Como \ln a é constante, \frac{d}{dx}\bigl(u(x)\ln a\bigr)=u'(x)\ln a. Portanto
\frac{dy}{dx} = e^{u(x)\ln a}\cdot u'(x)\ln a.
Voltando para a base a (pois e^{u(x)\ln a}=a^{u(x)}), obtemos a fórmula desejada:
\frac{d}{dx}a^{u(x)} = a^{u(x)}\ln a \cdot u'(x).
Explicação das letras: a é a base fixa (>0), u(x) é o expoente que depende de x, e u'(x) é a derivada do expoente.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso: identifique a=2 e u(x)=3x^{2}. Primeiro calculemos u'(x):
u(x)=3x^{2}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2})=3\cdot 2x=6x.
Agora use a fórmula \frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x):
f'(x)=2^{3x^{2}}\cdot \ln 2 \cdot 6x.

Passo 5

Organizando o resultado (multiplicando as constantes):
f'(x)=6x\ln 2\; \cdot 2^{3x^{2}}.
Interpretação rápida: a derivada mantém a função original 2^{3x^{2}} multiplicada por \ln 2 (que vem da mudança para base e) e por 6x (que é a derivada do expoente 3x^{2}).
Exemplo extra curto para fixar: se g(x)=2^{x} então, pela mesma regra com u(x)=x e u'(x)=1, temos g'(x)=2^{x}\ln 2.

Resposta

f'(x)=6x\ln 2\;2^{3x^{2}}

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