Derive as funções abaixo.
f(x)=\sqrt{\operatorname{sen} x} \ln (5 x)

Passo 1

Você me deu a função
f(x)=\sqrt{\operatorname{sen} x}\,\ln(5x)
e pediu para derivá-la. Vou listar claramente o que sabemos e o que é pedido:
  • A função é f(x)=\sqrt{\operatorname{sen} x}\,\ln(5x).
  • O que precisamos: calcular f'(x), a derivada de f.
  • Restrições do domínio (informação relevante): para que f esteja definida precisamos de \ln(5x) definido e de \sqrt{\operatorname{sen} x} real. Portanto: x>0 \quad\text{e}\quad \operatorname{sen}x\ge 0.Para a derivada que vamos obter (vai aparecer \sqrt{\operatorname{sen}x} no denominador), precisaremos também de \operatorname{sen}x>0 (caso \operatorname{sen}x=0 a expressão da derivada fica com divisão por zero).

Passo 2

Método escolhido: usar a regra do produto juntamente com a regra da cadeia. Motivação: a função é produto de duas funções dependentes de x: u(x)=\sqrt{\operatorname{sen}x} e v(x)=\ln(5x). A regra do produto é a maneira direta e simples de derivar produtos; cada um desses fatores exige a regra da cadeia (especialmente u(x), que é (\operatorname{sen}x)^{1/2}). Vou explicar cada fórmula que uso.

Passo 3

Regra do produto (explicação): se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u(x)=\sqrt{\operatorname{sen}x}=(\operatorname{sen}x)^{1/2} e v(x)=\ln(5x). Vamos achar u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 4

Derivada de v(x)=\ln(5x) (passo a passo):
  • Regra: para g(t)=\ln t, g'(t)=1/t.
  • Aplicando a cadeia com t=5x: d/dx\,\ln(5x) = \frac{1}{5x}\cdot\frac{d}{dx}(5x).
  • Como \dfrac{d}{dx}(5x)=5, obtemos
v'(x)=\frac{1}{5x}\cdot 5=\frac{1}{x}.
Nota útil para a prova: \dfrac{d}{dx}\ln(ax)=\dfrac{1}{x} para qualquer a>0, porque o a cancela no cálculo.

Passo 5

Derivada de u(x)=(\operatorname{sen}x)^{1/2} (regra da cadeia detalhada):
  • Escrevemos u(x)=h(g(x)) com g(x)=\operatorname{sen}x e h(t)=t^{1/2}.
  • Derivada de h(t)=t^{1/2} é h'(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}.
  • Derivada de g(x)=\operatorname{sen}x é g'(x)=\operatorname{cos}x.
  • Pela regra da cadeia,
u'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{sen}x}}\cdot\operatorname{cos}x.
Ou seja,
u'(x)=\frac{\operatorname{cos}x}{2\sqrt{\operatorname{sen}x}}.
Observação de prova: sempre confira se \operatorname{sen}x>0 quando usar essa forma com \sqrt{\operatorname{sen}x} no denominador.

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v, v':
f'(x)=\frac{\operatorname{cos}x}{2\sqrt{\operatorname{sen}x}}\cdot\ln(5x)+\sqrt{\operatorname{sen}x}\cdot\frac{1}{x}.
Para ficar mais organizado, escrevo as duas parcelas separadas:
f'(x)=\frac{\operatorname{cos}x\;\ln(5x)}{2\sqrt{\operatorname{sen}x}}+\frac{\sqrt{\operatorname{sen}x}}{x}.

Passo 7

Simplificação algébrica para uma única fração (opcional, mas costuma ficar mais elegante na prova).
  • Procuramos um denominador comum: 2x\sqrt{\operatorname{sen}x}.
  • Primeiro termo já tem denominador 2\sqrt{\operatorname{sen}x}; para ter 2x\sqrt{\operatorname{sen}x} multiplicamos numerador e denominador por x:
\frac{\operatorname{cos}x\;\ln(5x)}{2\sqrt{\operatorname{sen}x}}=\frac{x\,\operatorname{cos}x\;\ln(5x)}{2x\sqrt{\operatorname{sen}x}}.
  • Segundo termo \dfrac{\sqrt{\operatorname{sen}x}}{x} colocamos sobre o mesmo denominador multiplicando numerador e denominador por 2\sqrt{\operatorname{sen}x}:
\frac{\sqrt{\operatorname{sen}x}}{x}=\frac{2\sin x}{2x\sqrt{\operatorname{sen}x}},
porque \sqrt{\operatorname{sen}x}\cdot 2\sqrt{\operatorname{sen}x}=2\operatorname{sen}x.
  • Somando as duas frações com denominador comum 2x\sqrt{\operatorname{sen}x}:
f'(x)=\frac{2\operatorname{sen}x + x\,\operatorname{cos}x\;\ln(5x)}{2x\sqrt{\operatorname{sen}x}}.

Passo 8

Interpretação final e domínio da derivada:
  • Uma forma prática e suficiente para a prova é a forma não combinada:
f'(x)=\frac{\operatorname{cos}x\;\ln(5x)}{2\sqrt{\operatorname{sen}x}}+\frac{\sqrt{\operatorname{sen}x}}{x}.
  • A forma simplificada em único quociente é
f'(x)=\frac{2\operatorname{sen}x + x\,\operatorname{cos}x\;\ln(5x)}{2x\sqrt{\operatorname{sen}x}}.
  • Lembre-se: essas expressões são válidas quando x>0 e \operatorname{sen}x>0 (para evitar raiz de número negativo e divisão por zero).

Resposta

f'(x)=\frac{\operatorname{cos}x\;\ln(5x)}{2\sqrt{\operatorname{sen}x}}+\frac{\sqrt{\operatorname{sen}x}}{x}=\frac{2\operatorname{sen}x + x\,\operatorname{cos}x\;\ln(5x)}{2x\sqrt{\operatorname{sen}x}}

Exercícios relacionados