Derive as funções abaixo.
Passo 1
Você me deu a função
e pediu para derivá-la. Vou listar claramente o que sabemos e o que é pedido:
- A função é
. - O que precisamos: calcular
, a derivada de . - Restrições do domínio (informação relevante): para que
esteja definida precisamos de definido e de real. Portanto: Para a derivada que vamos obter (vai aparecer no denominador), precisaremos também de (caso a expressão da derivada fica com divisão por zero).
Passo 2
Método escolhido: usar a regra do produto juntamente com a regra da cadeia. Motivação: a função é produto de duas funções dependentes de
:
e
. A regra do produto é a maneira direta e simples de derivar produtos; cada um desses fatores exige a regra da cadeia (especialmente
, que é
). Vou explicar cada fórmula que uso.
Passo 3
Regra do produto (explicação): se
, então
Aqui
e
. Vamos achar
e
separadamente.
Passo 4
Derivada de
(passo a passo):
- Regra: para
, . - Aplicando a cadeia com
: . - Como
, obtemos
Nota útil para a prova:
para qualquer
, porque o
cancela no cálculo.
Passo 5
Derivada de
(regra da cadeia detalhada):
- Escrevemos
com e . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Pela regra da cadeia,
Ou seja,
Observação de prova: sempre confira se
quando usar essa forma com
no denominador.
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
:
Para ficar mais organizado, escrevo as duas parcelas separadas:
Passo 7
Simplificação algébrica para uma única fração (opcional, mas costuma ficar mais elegante na prova).
- Procuramos um denominador comum:
. - Primeiro termo já tem denominador
; para ter multiplicamos numerador e denominador por :
- Segundo termo
colocamos sobre o mesmo denominador multiplicando numerador e denominador por :
porque
.
- Somando as duas frações com denominador comum
:
Passo 8
Interpretação final e domínio da derivada:
- Uma forma prática e suficiente para a prova é a forma não combinada:
- A forma simplificada em único quociente é
- Lembre-se: essas expressões são válidas quando
e (para evitar raiz de número negativo e divisão por zero).