Aplique a Regra de LHospital para calcular
lim x 0 e^x+e^-x-x^2-2sen^2 x-x^2

Passo 1

O enunciado pede
limxto0e^x+e^-x-x^2-2sin^2x - x^2
que é um caso de forma indeterminada 0/0. Vamos aplicar a Regra de L’Hospital sucessivas vezes até obter uma expressão não indeterminada.

Passo 2

Verificamos o valor de numerador e denominador em x=0:
e^0+e^0-0^2-2 = 1+1-2 = 0, sen^2(0)-0^2 = 0-0 = 0
Portanto temos 0/0 e podemos derivar numerador e denominador.

Passo 3

Derivando uma vez:
f(x)=e^x+e^-x-x^2-2 implies f'(x)=e^x-e^-x-2x,
g(x)=sin^2x - x^2 implies g'(x)=2sin xcos x - 2x = sin(2x)-2x
Em x=0: f'(0)=1-1-0=0, g'(0)=0-0=0. Ainda indeterminado, aplicamos L’Hospital de novo.

Passo 4

Derivando pela segunda vez:
f''(x)=e^x+e^-x-2, g''(x)=2cos(2x)-2 = 2l(cos(2x)-1r)
Em x=0: f''(0)=1+1-2=0, g''(0)=2(1-1)=0. Continua 0/0.

Passo 5

Derivando pela terceira vez:
f'''(x)=e^x-e^-x, g'''(x)=-4sen(2x)
Em x=0: f'''(0)=1-1=0, g'''(0)=0. Ainda 0/0.

Passo 6

Derivando pela quarta vez:
f^(4)(x)=e^x+e^-x, g^(4)(x)=-8cos(2x)
Em x=0:
f^(4)(0)=1+1=2, g^(4)(0)=-8cdot1=-8
Logo, pelo L’Hospital,
limxto0f(x)g(x) =limxto0f^(4)(x)g^(4)(x) =2-8=-tfrac14

Resposta

-,14

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