Determine:
As abscissas dos pontos de inflexão da curva y=x^4-4 x^3-90 x^2.

Passo 1

O enunciado pede as abscissas dos pontos de inflexão da curva definida por
y = x^4 - 4x^3 - 90x^2
O conteúdo aqui é o estudo da concavidade de funções via derivadas e a identificação de pontos de inflexão, que ocorrem quando a segunda derivada muda de sinal.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira e depois a segunda derivada da função:
y' = ddxl(x^4 - 4x^3 - 90x^2r) = 4x^3 - 12x^2 - 180x
y'' = ddxl(4x^3 - 12x^2 - 180xr) = 12x^2 - 24x - 180

Passo 3

Determinamos os candidatos a ponto de inflexão igualando y'' a zero:
12x^2 - 24x - 180 = 0
Dividindo por 12:
x^2 - 2x - 15 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot(-15)2 = 2 pm raiz4 + 602 = 2 pm 82,
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x = 5 ou x = -3

Passo 4

Para confirmar que em x=-3 e x=5 realmente há inflexão, verificamos o sinal de y'' nos intervalos:
Para x<-3, y''>0 (concavidade para cima);
para -3<x<5, y''<0 (concavidade para baixo);
para x>5, y''>0 (concavidade para cima).
Como o sinal de y'' muda em x=-3 e em x=5, esses valores são abscissas de pontos de inflexão.

Resposta

As abscissas dos pontos de inflexão são -3 e 5.

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