Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Se sumn=1^+infty an converge e an>0, forall n in N, então sumn=1^+infty raizan converge.
( ) Se sumn=1^+infty an e sumn=1^+infty bn são divergentes, então sumn=1^+infty(an bn) é divergente.
( ) Seja (Sn) a sequência de somas parciais de an. Se (Sn) é convergente, então lim n +infty an=0.
( ) Suponha que an>0, forall n in N e que lim n +infty an=1, então sumn=1^+infty an diverge.
( ) Sejam p(x) e q(x) polinômios com coeficientes inteiros em x, com q(n) neq 0. Se o grau de p for menor que de q, então sumn=1^+infty p(n)q(n) converge.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre convergência de séries numéricas e pede para marcar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar testes clássicos de séries: contraexemplos, teste da raiz/potência, comparação assintótica (p-série) e o teste do termo geral.

Passo 2

Afirmação 1: “Se sum an converge e an>0, então sumraizan converge.”
Contraexemplo: escolha
an=1n^2, sumn=1^inftyan=sum1n^2conver>=,
mas
raizan=1n, sumn=1^infty1ndiver>=
Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Afirmação 2: “Se sum an e sum bn são divergentes, então sum(anbn) é divergente.”
Contraexemplo: seja
an=1n(diver>=), bn=(-1)^n(diver>= por oscilar),
então
anbn=(-1)^nn
e sum(-1)^n/n converge (teste de Leibniz). Logo, a afirmação é falsa.

Passo 4

Afirmação 3: “Se (Sn) é a sequência de somas parciais de an e (Sn) converge, então limntoinftyan=0.”
Isto é o teste do termo geral: condição necessária para convergência de série. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Afirmação 4: “Se an>0 e limntoinftyan=1, então sum an diverge.”
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge (teste do termo geral). Logo, é verdadeira.

Passo 6

Afirmação 5: “Sejam p(x) e q(x) polinômios com deg p<deg q. Então sum tfracp(n)q(n) converge.”
Em geral tfracp(n)q(n)sim1n^d com d=deg q-deg p. Se d=1, trata-se de sum1/n, que diverge. Exemplo: p(n)=n, q(n)=n^2+1 dá termos sim1/n. Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

(F)
(F)
(V)
(V)
(F)

Exercícios relacionados