Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Se
converge e
, então
converge.
( ) Se
e
são divergentes, então
é divergente.
( ) Seja
a sequência de somas parciais de
. Se
é convergente, então
.
( ) Suponha que
e que
, então
diverge.
( ) Sejam
e
polinômios com coeficientes inteiros em
, com
. Se o grau de
for menor que de
, então
converge.
( ) Se
( ) Se
( ) Seja
( ) Suponha que
( ) Sejam
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre convergência de séries numéricas e pede para marcar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar testes clássicos de séries: contraexemplos, teste da raiz/potência, comparação assintótica (p-série) e o teste do termo geral.
Passo 2
Afirmação 1: “Se
converge e
, então
converge.”
Contraexemplo: escolha
Contraexemplo: escolha
mas
Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
Afirmação 2: “Se
e
são divergentes, então
é divergente.”
Contraexemplo: seja
Contraexemplo: seja
então
e
converge (teste de Leibniz). Logo, a afirmação é falsa.
Passo 4
Afirmação 3: “Se
é a sequência de somas parciais de
e
converge, então
.”
Isto é o teste do termo geral: condição necessária para convergência de série. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Isto é o teste do termo geral: condição necessária para convergência de série. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Afirmação 4: “Se
e
, então
diverge.”
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge (teste do termo geral). Logo, é verdadeira.
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge (teste do termo geral). Logo, é verdadeira.
Passo 6
Afirmação 5: “Sejam
e
polinômios com
. Então
converge.”
Em geral com
. Se
, trata-se de
, que diverge. Exemplo:
,
dá termos
. Logo, a afirmação é falsa.
Em geral
Resposta
(F)
(F)
(V)
(V)
(F)
(F)
(V)
(V)
(F)