Determine dois números reais positivos cuja soma seja 20 e cujo produto do quadrado do primeiro pelo cubo do segundo seja o maior possível.
Passo 1
O problema pede dois números reais positivos
e
tais que
e que o produto do quadrado do primeiro pelo cubo do segundo,
seja máximo. O conteúdo principal é otimização com restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange (ou equivalentemente a maximização de
).
Passo 2
Como
, maximizar
é equivalente a maximizar
A restrição é
Passo 3
Pelas condições de Lagrange, existem
tais que
Calculamos
Logo,
Passo 4
Substituindo na restrição
,
Então
Passo 5
Para ver que esse ponto é máximo, note que se
ou
o produto
, enquanto em
ele é positivo. Portanto o ponto crítico interior é de fato o máximo global.
Resposta
Os números são
e
.