Determine dois números reais positivos cuja soma seja 20 e cujo produto do quadrado do primeiro pelo cubo do segundo seja o maior possível.

Passo 1

O problema pede dois números reais positivos x e y tais que
x + y = 20
e que o produto do quadrado do primeiro pelo cubo do segundo,
f(x,y) = x^2,y^3,
seja máximo. O conteúdo principal é otimização com restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange (ou equivalentemente a maximização de ln f).

Passo 2

Como f(x,y)>0, maximizar f é equivalente a maximizar
h(x,y) = ln f(x,y) = 2ln x + 3ln y
A restrição é
g(x,y) = x+y - 20 = 0

Passo 3

Pelas condições de Lagrange, existem mu tais que
partial hpartial x = mu,partial gpartial x, partial hpartial y = mu,partial gpartial y
Calculamos
partial hpartial x = 2x, partial hpartial y = 3y, partial gpartial x = 1, partial gpartial y = 1
Logo,
2x = mu, 3y = mu Longrightarrow 2x = 3y Longrightarrow y = 32,x

Passo 4

Substituindo na restrição x+y=20,
x + 32x = 20 Longrightarrow 52x = 20 Longrightarrow x = 8
Então
y = 20 - x = 20 - 8 = 12

Passo 5

Para ver que esse ponto é máximo, note que se xto0^+ ou yto0^+ o produto x^2y^3to0, enquanto em (8,12) ele é positivo. Portanto o ponto crítico interior é de fato o máximo global.

Resposta

Os números são 8 e 12.

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