Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a antiderivada (integral indefinida)
Informações dadas importantes:
- A função a integrar é o produto de um polinômio
e uma exponencial . - Queremos uma primitiva
tal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes, que vale
Explicando a fórmula: escolhemos duas funções
e
de modo que
seja fácil de derivar e
fácil de integrar. Depois calculamos
e
. A fórmula vem da regra do produto para derivadas e nos permite reduzir a integral de um produto.
Passo 3
Escolha das partes: como o polinômio fica mais simples ao derivar, escolhemos
Agora calculamos
e
:
Para
precisamos integrar
. Uma antiderivada de
é
, pois derivando
vem
. Logo
Passo 4
Aplicando a fórmula de partes:
Dentro da integral,
, então simplifica para
Observação: conseguimos reduzir a potência de
de
para
. Agora precisamos calcular
.
Passo 5
Aplicamos integração por partes novamente à integral
. Escolhemos
Calculamos
Aplicando a fórmula:
E sabemos que
. Substituindo:
Passo 6
Voltando à expressão do Passo 4 e substituindo o resultado do Passo 5:
Distribuindo o sinal negativo:
Passo 7
Podemos fatorar
para escrever de forma compacta:
Verificação rápida (opcional): diferenciando
e aplicando regra do produto obtém-se
, confirmando que encontramos uma primitiva correta.