Calcule:
\int x^{2} e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada (integral indefinida)
\int x^{2} e^{2x}\,dx.
Informações dadas importantes:
  • A função a integrar é o produto de um polinômio \,x^{2}\, e uma exponencial \,e^{2x}\,.
  • Queremos uma primitiva F(x) tal que F'(x)=x^{2}e^{2x}, mais a constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes, que vale
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando a fórmula: escolhemos duas funções u(x) e v'(x)=dv/dx de modo que u seja fácil de derivar e dv fácil de integrar. Depois calculamos du = u'(x)\,dx e v=\int dv. A fórmula vem da regra do produto para derivadas e nos permite reduzir a integral de um produto.

Passo 3

Escolha das partes: como o polinômio fica mais simples ao derivar, escolhemos
u = x^{2},\qquad dv = e^{2x}\,dx.
Agora calculamos du e v:
du = 2x\,dx.
Para v precisamos integrar e^{2x}. Uma antiderivada de e^{2x} é \tfrac{1}{2}e^{2x}, pois derivando \tfrac{1}{2}e^{2x} vem e^{2x}. Logo
v = \frac{1}{2}e^{2x}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
\int x^{2} e^{2x}\,dx = u v - \int v\,du = x^{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\cdot 2x\,dx.
Dentro da integral, \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 1, então simplifica para
\int x^{2} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \int x e^{2x}\,dx.
Observação: conseguimos reduzir a potência de x de 2 para 1. Agora precisamos calcular \int x e^{2x}\,dx.

Passo 5

Aplicamos integração por partes novamente à integral \int x e^{2x}\,dx. Escolhemos
u = x,\qquad dv = e^{2x}\,dx.
Calculamos
du = dx,\qquad v = \frac{1}{2}e^{2x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{2}\int e^{2x}\,dx.
E sabemos que \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}. Substituindo:
\int x e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}.

Passo 6

Voltando à expressão do Passo 4 e substituindo o resultado do Passo 5:
\int x^{2} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \left(\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}\right).
Distribuindo o sinal negativo:
\int x^{2} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \frac{1}{2}x e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x} + C.

Passo 7

Podemos fatorar e^{2x} para escrever de forma compacta:
\int x^{2} e^{2x}\,dx = e^{2x}\left(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\right) + C.
Verificação rápida (opcional): diferenciando F(x)=e^{2x}\left(\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4}\right) e aplicando regra do produto obtém-se F'(x)=x^{2}e^{2x}, confirmando que encontramos uma primitiva correta.

Resposta

\frac{1}{2}x^{2}e^{2x}-\frac{1}{2}x e^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}+C

Exercícios relacionados