Aplique a técnica do trapézio para resolver a integral e expresse os resultados com três decimais.
It=integralpi / 2^3 pi / 2 sen(x)x d x ; n=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica do trapézio com subdivisões. A matéria envolvida aqui é cálculo numérico, mais especificamente o método numérico de integração conhecido como Regra do Trapézio. Para isso, vamos precisar dividir o intervalo de integração em partes iguais, calcular os valores da função nos pontos divididos e aplicar a fórmula do trapézio.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração:
  • Limite inferior ( h = b - an ) = h = 3pi / 2 - pi / 28 = pi8
  • Limite superior ( ) =
Vamos calcular a largura de cada subintervalo ( ) usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos de divisão ( xi = a + i cdot h ) onde x0 = pi2, x1 = pi2 + pi8 = 5pi8, x2 = 5pi8 + pi8 = 6pi8 = 3pi4, dots, x8 = 3pi2 :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores da função em cada ponto f(x0) = sen(pi/2)pi/2 = 1pi/2 = 2pi :
Vamos calcular cada um desses valores numericamente.

Passo 5

A Regra do Trapézio para It approx h2 [ f(x0) + 2 sumi=1^7 f(xi) + f(x8) ] é dada por:
Substituindo e os valores calculados de , vamos somar tudo.

Passo 6

Vamos calcular cada termo da soma:
f(x0) = 2pi approx 0.6366
Continuando assim até f(x1) = sen(5pi/8)5pi/8 approx 0.9241.9635 approx 0.4703 e f(x2) = sen(3pi/4)3pi/4 approx 0.70712.3562 approx 0.3003 :
f(x3) approx 0.1700, f(x4) approx 0.0000, f(x5) approx -0.1700, f(x6) approx -0.3003, f(x7) approx -0.4703, f(x8) approx -0.4244

Passo 7

Agora, somamos todos os termos:
It approx pi16 [ 0.6366 + 2(0.4703 + 0.3003 + 0.1700 + 0.0000 - 0.1700 - 0.3003 - 0.4703) - 0.4244 ]
Primeiro, somamos os termos dentro dos parênteses após multiplicar por 2:
2(0.4703 + 0.3003 + 0.1700 + 0.0000 - 0.1700 - 0.3003 - 0.4703) = 2 times 0 = 0
Então:
It approx pi16 (0.6366 - 0.4244) = pi16 times 0.2122 approx 0.0417

Resposta

A integral aproximada pelo método do trapézio com é .

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