Considere a g(x)=|2 x-1|-|4-x|. © Verifique se lim x a f(x) existe, quando a=1 / 2 e a=4.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve a função . O objetivo aqui é verificar se o limite de existe quando se aproxima de e . Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e funções de valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma função existir em um ponto. O limite existe se os limites pela esquerda ( ) e pela direita ( ) são iguais.

Passo 3

Vamos analisar o primeiro ponto g(x) = (-2x + 1) - (4 - x) = -2x + 1 - 4 + x = -x - 3 .
Para g(x) = (2x - 1) - (4 - x) = 2x - 1 - 4 + x = 3x - 5 próximo de , vamos simplificar as expressões dentro dos valores absolutos:
  • quando : é negativo, então .
  • quando : é positivo, então .
Então, para :
Para , é positivo, então .
Então, para :

Passo 4

Agora, calculamos os limites laterais em limx to 12^- g(x) = limx to 12^- (-x - 3) = -12 - 3 = -72 :
  • Limite pela esquerda ( limx to 12^+ g(x) = limx to 12^+ (3x - 5) = 3 cdot 12 - 5 = 32 - 5 = -72 ):
  • Limite pela direita ( ):
Como ambos os limites laterais são iguais, o limite em existe e vale .

Passo 5

Agora, vamos analisar g(x) = (2x - 1) - (4 - x) = 2x - 1 - 4 + x = 3x - 5 .
Para g(x) = (2x - 1) - (-(4 - x)) = 2x - 1 + 4 - x = x + 3 próximo de 4:
  • sempre será positivo, então .
  • será positivo quando e negativo quando .
Então, para :
Para :

Passo 6

Calculamos os limites laterais em limx to 4^- g(x) = limx to 4^- (3x - 5) = 3 cdot 4 - 5 = 12 - 5 = 7 :
  • Limite pela esquerda ( limx to 4^+ g(x) = limx to 4^+ (x + 3) = 4 + 3 = 7 ):
  • Limite pela direita ( ):
Novamente, os limites laterais são iguais, então o limite em existe e vale 7.

Resposta

O limite de existe para e , com valores e , respectivamente.

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