O modelo proposto pela
caracteriza o fenômeno de Runge, o qual está escrito abaixo. Esse modelo,
, está restrito ao intervalo
com um
. Desenvolver um modelo polinomial quadrático para interpolar a
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
, que está definida no intervalo
com passo
. O nosso objetivo aqui é criar um modelo polinomial quadrático que interpole essa função nesse intervalo. Isso significa que queremos encontrar um polinômio de segundo grau que passe por três pontos específicos dessa função.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher três pontos no intervalo dado para construir nosso polinômio. Como o passo
, podemos selecionar os pontos
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular os valores de
nesses pontos:
Esses cálculos podem ser complexos, então geralmente usamos uma calculadora ou software para obter os valores numéricos precisos de
,
e
.
Passo 4
Com os valores de
,
e
calculados, podemos usar a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange para montar nosso modelo quadrático. A fórmula geral do polinômio de Lagrange de grau 2 é:
Passo 5
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Agora, basta simplificar as frações e multiplicar pelos valores de
correspondentes. Essa expressão resultante será o nosso polinômio quadrático que interpola a função
no intervalo dado.
Resposta
O modelo polinomial quadrático que interpola a função
no intervalo
com passo
é dado por:
Esse polinômio passa exatamente pelos pontos
,
e
, garantindo que ele interpola a função
nesses pontos dentro do intervalo especificado.