Considere a
. (d) Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício: precisamos esboçar o gráfico da função
. Aqui, estamos lidando com funções que envolvem valores absolutos, o que faz parte do conteúdo de funções matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os valores absolutos e como eles afetam o comportamento da função em diferentes intervalos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Esses pontos são chamados de “pontos críticos” e nos ajudam a dividir a função em intervalos onde podemos simplificar os valores absolutos. Para a função
:
-
muda de sinal quando , ou seja, quando . -
muda de sinal quando , ou seja, quando .
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos dividir a linha dos números reais em três intervalos com base nesses pontos críticos:
Em cada intervalo, iremos remover os valores absolutos substituindo as expressões por suas versões positivas ou negativas, dependendo do sinal da expressão dentro do valor absoluto nesse intervalo.
Passo 4
Vamos simplificar
em cada intervalo:
-
Para
: -
é negativo, então . -
é positivo, então . - Portanto,
.
-
-
Para
: -
é positivo, então . -
é positivo, então . - Portanto,
.
-
-
Para
: -
é positivo, então . -
é negativo, então . - Portanto,
.
-
Passo 5
Com as expressões simplificadas para cada intervalo, agora podemos identificar os pontos chave para esboçar o gráfico:
- Em
: . - Em
: .
Vamos observar que:
- Para
, a função é uma reta decrescente . - Para
, a função é uma reta crescente com inclinação maior . - Para
, a função continua crescente .
Resposta
O gráfico de
é composto por três retas:
- Para
: uma reta decrescente . - Para
: uma reta crescente . - Para
: uma reta crescente .
Pontos importantes para marcar no gráfico são
e
. Unindo essas retas conforme os intervalos, teremos o esboço completo do gráfico de
.