Considere a g(x) = |2x - 1| - |4 - x|. (d) Esboce o gráfico de g.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício: precisamos esboçar o gráfico da função . Aqui, estamos lidando com funções que envolvem valores absolutos, o que faz parte do conteúdo de funções matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os valores absolutos e como eles afetam o comportamento da função em diferentes intervalos de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Esses pontos são chamados de “pontos críticos” e nos ajudam a dividir a função em intervalos onde podemos simplificar os valores absolutos. Para a função :
  • muda de sinal quando , ou seja, quando .
  • muda de sinal quando , ou seja, quando .
Então, os pontos críticos são e .

Passo 3

Agora, vamos dividir a linha dos números reais em três intervalos com base nesses pontos críticos:
Em cada intervalo, iremos remover os valores absolutos substituindo as expressões por suas versões positivas ou negativas, dependendo do sinal da expressão dentro do valor absoluto nesse intervalo.

Passo 4

Vamos simplificar em cada intervalo:
  1. Para :
    • é negativo, então .
    • é positivo, então .
    • Portanto, .
  2. Para :
    • é positivo, então .
    • é positivo, então .
    • Portanto, .
  3. Para :
    • é positivo, então .
    • é negativo, então .
    • Portanto, .

Passo 5

Com as expressões simplificadas para cada intervalo, agora podemos identificar os pontos chave para esboçar o gráfico:
  • Em : .
  • Em : .
Vamos observar que:
  • Para , a função é uma reta decrescente .
  • Para , a função é uma reta crescente com inclinação maior .
  • Para , a função continua crescente .

Resposta

O gráfico de é composto por três retas:
  • Para : uma reta decrescente .
  • Para : uma reta crescente .
  • Para : uma reta crescente .
Pontos importantes para marcar no gráfico são e . Unindo essas retas conforme os intervalos, teremos o esboço completo do gráfico de .

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